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title: "三维分波散射互动实验｜Sandbox Physics"
description: "圆形靶，为什么散射分布有这么多谷？各分波在互相干涉。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/partial-wave-scattering/"
last_modified: "2026-10-27"
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Q016 · 相移、角分布与截面

# 三维分波散射

**圆形靶，为什么散射分布有这么多谷？** 各分波在互相干涉。每个分波带着自己的相移，复振幅先相加再取模平方，有的角度互相加强，有的角度互相抵消，谷就出来了。总截面是另一回事，它是把所有角度合在一起的一个数。

让一束单能粒子射向中心势。移动环形探测器，数散射过来的粒子，分清哪些是角分布里的干涉，哪些是总散射强度的变化。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

入射粒子取电子质量，做非相对论弹性散射；靶是吸引型球形方势阱或硬球。每次曝光是独立的 Poisson 计数，入射面通量均匀，环形探测器是理想的。不含 Coulomb 长程尾、靶反冲、吸收和多次散射，也没有标定过的材料势。

模拟探测器曝光

## 数一数探测器真正接收到什么。

$\theta/\mathrm{deg},\quad \overline{d\sigma/d\Omega}\,/\,(\mathrm{nm^2/sr})$ · 蓝：当前扫描；橙：已存对照。拖动选择角度。

显示模型预测

$\text{—}$

计数与不确定度

每一格是一次模拟曝光，颜色越深计数越多。橙线显示当前扫描以外最近保存的一组样本。误差线是近似的百分之九十五 Poisson score 区间；探测器给出的是整个极角带上的平均值。

概率流守恒

## 每条分波都落在同一个圆上。

$\operatorname{Re}t_l,\quad\operatorname{Im}t_l$ · 金色：分截面最大；青色：其余分波。

改变能量，跟着金色点绕圆周走。

$1$

概率流怎样变成一个圆

$$
\begin{gathered}S_l=e^{2i\delta_l}=1+2it_l\\t_l=e^{i\delta_l}\sin\delta_l\\(\operatorname{Re}t_l)^2+\left(\operatorname{Im}t_l-\tfrac12\right)^2=\tfrac14\end{gathered}
$$

实数势把入射通量全部送回弹性通道。改变能量，每条分波的振幅沿圆周移动。圆顶对应这个能量下允许的最大分截面。

这里算的是非相对论势散射。相对论分波在吸收相空间归一化后，也满足同样的无量纲圆关系。

[从概率流继续学散射振幅](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/)

分截面、角度干涉与保存样本

03 / 把形状与结果联系起来

## 不同分波带着不同的相位。

$l,\quad \sigma_l/\mathrm{nm^2}$ · 这个分解来自模型，并没有单独测量每条分波。

$\text{—}$

最后三条分波用来估计尾项的贡献；科学测试中还会再加八条分波，检查结果是否收敛。

模型视图，与计数数据分开

## 干涉改变了角分布。

$\theta/\mathrm{deg},\quad |f(\theta)|^2/\mathrm{nm^2}$ · 实线为相干求和；虚线丢弃交叉项后分别取模平方求和。虚线只是诊断，不代表另一个物理散射模型。

$\text{—}$

$r/\mathrm{nm},\quad E/\mathrm{eV}$

04 / 留下证据

## 把设置和记录一起保存。

最多保存八组固定样本，恢复后可以查看当时的设置。保存之后再采集会新建一组样本。CSV 同时保留零结果和成功探测。

模型边界、单位与来源

势为实数、有限程的中心势，散射粒子取电子质量，只考虑弹性散射。入射平面波沿水平正方向传播。环形探测器接收所有方位角；极角方向上，两端各留两度的束流通孔不计入。半径和深度定义的是一个假想靶，不对应具体材料。靶和探测器按示意比例绘制，方向线不表示轨迹。硬球选项把内部换成边界上波函数为零的条件。

分波截断随入射动量和势程增大。探测器积分用 Gaussian 求积，各角度的独立曝光服从 Poisson 计数。画面最多显示最后一次曝光中按条件采样的一百二十八个到达点；CSV 保留每次曝光的完整计数和面通量。不包括靶反冲、吸收、非弹性通道、多次散射和 Coulomb 长程尾。

[Fitzpatrick · Partial waves](https://farside.ph.utexas.edu/teaching/qm/Quantum/node107.html) · [Phase shifts](https://farside.ph.utexas.edu/teaching/qm/Quantum/node109.html) · [Resonant scattering](https://farside.ph.utexas.edu/teaching/qm/Quantum/node112.html)

物理教程

## 三维分波散射

**背景** 让一束单能粒子射向中心势。移动环形探测器，数散射过来的粒子，分清哪些是角分布里的干涉，哪些是总散射强度的变化。

**为什么值得理解** 对称性限制了振幅的形式。先测出这种限制带来的结果，再改动一项制备条件。

先抓重点

- **核心问题**: 圆形靶，为什么散射分布有这么多谷？
- **一句话直觉**: 先把各分波的复振幅加起来，再取模的平方，所以每个角度留下的干涉项都不一样。

### 核心数学模型

#### 分波叠加的散射振幅

$$
f(\theta)=\frac1k\sum_{l=0}^{l_{\max}}(2l+1)e^{i\delta_l}\sin\delta_l P_l(\cos\theta)
$$

极角从入射方向，也就是正水平轴算起；装置图里的水平轴就是束流轴。

#### 有限孔径探测器的计数

$$
\langle N\rangle=\mathcal F\int_{\Delta\Omega}|f(\theta)|^2\,d\Omega
$$

环形探测器收下所有方位角、一段有限极角内的粒子。计数除以面通量和立体角，得到的是这段角度内的平均值，不是某一个角度上的值。

#### 用几种方法独立计算总截面

$$
\sigma=\frac{4\pi}{k^2}\sum_l(2l+1)\sin^2\delta_l=\frac{4\pi}{k}\operatorname{Im} f(0)
$$

实数势只发生弹性散射，通量守恒；所以对角度积分、用光学定理算出的结果，都必须和分波求和一致。

### 常见难点

#### 示意图不是轨迹

**容易误解** 出射方向线就是算出来的经典轨道。

**正确理解** 方向线只是把散射中心和探测器接收的角度连起来。计数由复数波振幅决定，和经典路径无关。

#### 模型没有包括什么

**容易误解** 数值检查通过了，就等于复现了真实仪器。

**正确理解** 入射粒子取电子质量，做非相对论弹性散射；靶是吸引型球形方势阱或硬球。每次曝光是独立的 Poisson 计数，入射面通量均匀，环形探测器是理想的。不含 Coulomb 长程尾、靶反冲、吸收和多次散射，也没有标定过的材料势。

### 动手实验

1. 01

   #### 计数之前先预测

   先预测：圆形靶变大后，角分布里会不会出现谷？再记录一次角度扫描。

   **你会看到：** 进入页面时已载入固定种子的模拟角度扫描，首次采集会新建样本。每个点都来自有限探测角带中的到达计数。

2. 02

   #### 改变一个物理原因

   比较低能预设和多分波预设，再把探测器加宽，在同一角度重做。

   **你会看到：** 孔径太宽会把窄谷抹平。截面和条件角分布是两个不同的观测量。

3. 03

   #### 看看信号消失的情况

   去掉散射势，零计数的曝光照样记录下来；再单独看看硬球。

   **你会看到：** 导出原始记录，零结果也包括在内，就能自己复算出显示的估计值。

物理结论

入射粒子取电子质量，做非相对论弹性散射；靶是吸引型球形方势阱或硬球。每次曝光是独立的 Poisson 计数，入射面通量均匀，环形探测器是理想的。不含 Coulomb 长程尾、靶反冲、吸收和多次散射，也没有标定过的材料势。

## 相关实验与文章

散射振幅 · 阅读路径

### 从概率流走到散射振幅与 bootstrap

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **散射振幅怎样变成探测器上的计数**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/flux-and-amplitude/)
2. [文章 **一个圆怎样限制散射的强度**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/partial-wave-unitarity/)

量子物理证据 · 阅读路径

### 概率与排斥

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **Born：散射方向怎样成为概率**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/born-scattering-probability/)
2. [实验 **量子态与 Born 测量** 选好测量方向，预测量子比特各结果的概率](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)