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title: "变焦镜头挑战互动实验｜Sandbox Physics"
description: "移动镜组能否改变焦距，同时让像一直落在胶片上？能，只要另一组，也就是补偿组，按变焦组的位置沿一条弯曲的凸轮走。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/parfocal-zoom-challenge/"
last_modified: "2026-10-30"
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光学 024 · 变焦而不失焦

# 变焦镜头挑战

**移动镜组能否改变焦距，同时让像一直落在胶片上？** 能，只要另一组，也就是补偿组，按变焦组的位置沿一条弯曲的凸轮走。在佳能 1976 年的一个设计里，焦距这样从 7.24 mm 变到 68.8 mm，像一直固定在胶片上。补偿组不跟着走，像就偏离胶片约 1 mm；把凸轮做成直线，最多也差 0.79 mm。

推动一个镜组，让四组变焦镜头的焦距从 7.24 mm 变到 68.8 mm。另一组必须沿凸轮走，像才留在胶片上，偏离就糊。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

镜头取自佳能美国专利 3,972,591（M. Suwa，1976）的实施例 1，按空气中的四块薄透镜处理：前组 61.153 mm，变焦组 −15.120 mm，补偿组 35.716 mm；变焦比取专利的 9.504（68.79 mm 比 7.238 mm），两条解曲线的相切点在变焦组行程的 0.8 处。各组用 Kogelnik 和 Li（1966）的近轴光线传输矩阵组合；真实镜组的厚度、偏离玻璃的主平面和像差都没有计入。专利没有给出中继组（第四组）的单一焦距，这里取 58.1 mm，放在前组后 92 mm，使广角端焦距等于专利的 7.238 mm；胶片于是在前组后 119.3 mm。光阑放在中继组处，大小按专利的 F/1.4 确定；像圈直径 7.41 mm，由专利广角端 54.2° 的视场角确定。景物在无穷远，前组对近处物体的调焦不在模型里。模糊只按几何光学计算：一个点摊成由光阑决定的均匀圆盘，不计衍射、像差、渐晕和胶片颗粒。像离胶片不到 1 微米就算清晰；专利没有给出焦深。画出的轴外光来自画面中心到边缘的一半处，因为广角端来自画面边缘的光会在画出的前组之外穿过。专利没有给出各组口径，图中口径只够画出的光通过。镜头按比例绘制，长度和高度用同一比例。

物理教程

## 用凸轮让变焦镜头保持清晰

**背景** 变焦镜头靠沿光轴移动镜组来改变焦距。只动一组，像也会跟着离开胶片，所以必须另有一组同时移动。这里用的是佳能 1976 年的设计：前组和后面的中继组不动，一个负的变焦组走直线，一个正的补偿组沿着一条弯曲的槽走，这条槽刻在一个转动的镜筒上，叫凸轮。

**为什么值得理解** 电影和电视用的变焦镜头，摄影师在镜头里推拉时，画面必须一直清晰。电子显微镜用磁透镜也面临同样的问题：它改变透镜电流来改变放大率，同时还要让样品保持在焦点上。

先抓重点

- **核心问题**: 移动镜组能否改变焦距，同时让像一直落在胶片上？
- **一句话直觉**: 两个移动镜组要合力把前组的像送到同一个点，这就把它们各自物像距离之和固定住了。选定变焦组的放大率 $m_{2}$，补偿组就剩下两个放大率可选，乘积为 1：$m_{3}$ 和 $1/m_{3}$。凸轮沿其中一个走；焦距 $f_{1}m_{2}m_{3}m_{4}$ 变大九倍多，像却始终落在胶片上。

### 核心数学模型

#### 透镜把像送多远

$$
L=f\left(2-m-\frac{1}{m}\right)
$$

焦距 $f$ 的薄透镜以横向放大率 $m$ 成像时，像在物后 $L$ 处。把 $m$ 换成 $1/m$，式子不变：物和像对调，距离一样。变焦组 $f_{2}=-15.12\,\mathrm{mm}$，变焦行程中间 $m_{2}=-0.645$，得 $L_{2}=-63.4\,\mathrm{mm}$，是在物前面的虚像。

#### 齐焦条件

$$
m_{3}+\frac{1}{m_{3}}=2-\frac{4(f_{2}+f_{3})-L_{2}}{f_{3}}
$$

第二组和第三组合起来，要把前组的焦点送到中继组固定的物点，所以 $L_{2}+L_{3}$ 保持不变。专利让两条解曲线在两组放大率都等于 $-1$ 处相切，这就把这个值定为 $4(f_{2}+f_{3})=82.4\,\mathrm{mm}$。式子是 $m_{3}$ 的二次方程，两个根相乘等于 1：变焦中间是 $-0.751$ 和 $-1.33$。

#### 整只镜头的焦距

$$
f=f_{1}\,m_{2}\,m_{3}\,m_{4}
$$

远处景物先在前组后 $f_{1}=61.153\,\mathrm{mm}$ 处成像，后面每一组再把这个像放大。这里中继组的放大率 $m_{4}=0.530$。广角端 $m_{2}=-0.406$、$m_{3}=-0.550$，得 7.24 mm；长焦端是 $-1.58$ 和 $-1.35$，得 68.8 mm。这个数也等于整只镜头光线传输矩阵的 $-1/C$，Lab 里核对过。

#### 模糊圆

$$
b=D\,\frac{|\delta|}{s}
$$

像成在离胶片 $\delta$ 处时，从直径 $D=19.5\,\mathrm{mm}$ 的光阑到像点（距离 $s$）的光锥，被胶片截成直径 $b$ 的圆。这里只算几何模糊，不计衍射和像差。

### 常见难点

#### 补偿组也在变焦

**容易误解** 焦距只由变焦组决定，补偿组只管对焦。

**正确理解** 焦距是 $f_{1}m_{2}m_{3}m_{4}$。沿凸轮，$m_{2}$ 变 3.88 倍，$m_{3}$ 变 2.45 倍，合起来才是 9.50 倍。补偿组的路线，正是同时让像留在胶片上的那一条。

#### 清晰位置有两个

**容易误解** 每个变焦位置只有一个补偿组位置是清晰的。

**正确理解** 因为 $m_{3}$ 和 $1/m_{3}$ 给出同样的 $L$，清晰位置有两个，直到在 $m_{3}=-1$ 处重合。第二个同样清晰，只是焦距不同；凸轮走不到那里。

#### 直线凸轮不够准

**容易误解** 只要补偿组在变焦两端位置正确，中间按直线移动就够了。

**正确理解** 需要的路线是弯的。这里用直线凸轮，像最多偏离胶片 0.788 mm，模糊圆达 0.58 mm，对 7.41 mm 的像圈来说远远不够清晰。

#### 胶片不用动

**容易误解** 变焦时要保持清晰，胶片或传感器得跟着移动。

**正确理解** 这个设计里前组、中继组和胶片都固定，只有中间两组移动。凸轮让它们合起来的物像距离保持不变，中继组的物点就始终在同一处。

### 动手实验

1. 01

   #### 看凸轮上的镜头

   保持默认预设“在凸轮上：变焦途中也清晰”。

   **你会看到：** 变焦组在前组后 22.6 mm，补偿组在 81.0 mm。焦距 15.7 mm，视场角 26.5°，来自景物中心的光在胶片上会聚成一点。

2. 02

   #### 沿凸轮变焦

   把变焦组从行程一端拖到另一端。

   **你会看到：** 补偿组沿镜筒上的槽走，变焦组向后移 27.6 mm，补偿组向前移 28.4 mm。焦距从 7.24 mm 变到 68.8 mm，模拟画面随之放大，模糊圆始终是一个点。

3. 03

   #### 让补偿组掉队

   载入“补偿组没跟上：画面变糊”。

   **你会看到：** 补偿组停在广角端凸轮给的 88.2 mm，变焦组却已到中间。焦距 13.2 mm，但像成在胶片后 0.993 mm，每个点糊成 0.685 mm 的圆盘：这就是变焦距镜头，变焦后得重新对焦。

4. 04

   #### 试试直线凸轮

   载入“直线凸轮：只有两端清晰”。

   **你会看到：** 把凸轮两端连成直槽，补偿组就在 74.0 mm。像落在胶片前 0.682 mm。过程行显示，这种凸轮只在两端清晰，在变焦组 19.2 mm 附近最多差 0.788 mm。

5. 05

   #### 找第二个清晰位置

   载入“第二个清晰位置：焦距更长”。

   **你会看到：** 补偿组在 60.3 mm 时，像又落在胶片上，焦距却是 27.8 mm，不是 15.7 mm。它的放大率 $-1.33$，正是凸轮上 $-0.751$ 的倒数。

6. 06

   #### 到相切点去

   载入“两个清晰位置相遇处”。

   **你会看到：** 变焦组在 30.9 mm 时，两组放大率都是 $m=-1$，两个清晰位置在 72.1 mm 处重合，焦距 32.4 mm。凸轮在这里从一条解曲线换到另一条，所以补偿组一直朝同一方向走，焦距也一直变长。

7. 07

   #### 手动调焦

   关掉“跟随凸轮”，移动变焦组，再用补偿组滑块把模糊圆收回成一个点。

   **你会看到：** 有两个位置能做到。一个在凸轮上；另一个在凸轮图的紫色曲线上，焦距不同。

物理结论

补偿组在凸轮上时，变焦组移动 27.6 mm，焦距从 7.24 mm 变到 68.8 mm，正是专利的 9.50 倍，视场角从 54.2° 收到 6.17°；补偿组同时反向移动 28.4 mm。专利自己的间隔表里，这两个数是 27.65 mm 和 28.44 mm。补偿组若停在广角端凸轮给的位置，变焦到中间时像跑到胶片后 0.993 mm，模糊圆 0.685 mm。把凸轮两端连成直线，最多差 0.788 mm。每个变焦位置还有第二个补偿组位置也能让像落在胶片上，焦距更长；两者在两组放大率都是 $m=-1$ 处相遇。

## 相关实验与文章

电子探针 · 阅读路径

### 电子探针：读懂证据

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **Ruska：形成电子图像，只是第一步**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/electron-evidence/ruska-electron-microscope-resolution/)
2. [实验 **薄透镜成像台** 在光具座上检验薄透镜公式](https://sandboxphysics.com/zh/labs/thin-lens-imaging-bench/)
3. [实验 **电子光学柱** 逐个透镜跟踪成像位置](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-column/)
4. [实验 **HRTEM 相位衬度与 CTF** 对照图像反差与传递函数](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hrtem-ctf/)
5. [实验 **负折射与超透镜** 看一块平板找回比波长更细的细节](https://sandboxphysics.com/zh/labs/negative-refraction-superlens/)

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)