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title: "参数共振与稳定性实验互动实验｜Sandbox Physics"
description: "没有外加驱动力，改变刚度也能输入能量吗？能，只要刚度变化的节奏对。让弹簧以大约两倍固有频率一硬一软，就是在对运动做正功，微小的晃动会越来越大。每过一个调制周期，运动被放大的倍数只要大于一，晃动就会持续增长。完全静止的小车始终不动，没有运动可放大。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/parametric-resonance/"
last_modified: "2026-10-22"
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M068 · 刚度会变的弹簧

# 参数共振与稳定性实验

**没有外加驱动力，改变刚度也能输入能量吗？** 能，只要刚度变化的节奏对。让弹簧以大约两倍固有频率一硬一软，就是在对运动做正功，微小的晃动会越来越大。每过一个调制周期，运动被放大的倍数只要大于一，晃动就会持续增长。完全静止的小车始终不动，没有运动可放大。

三维场景里，小车通过弹簧连在固定锚点上，一根指示条显示弹簧当前的刚度。调节调制的深度、频率和相位，释放小车，看泵浦做的功是正是负。把两个独立初态各积分一个周期，就能测出 Floquet 乘子；还可以生成稳定图，选中其中任意一格。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型采用线性黏性阻尼，刚度始终为正，并按正弦规律调制；没有外加驱动力，也没有非线性饱和。Floquet 乘子描述的是线性周期系统，与所选释放点无关；乘子再大，严格为零的初态也不会自己动起来。改变调制相位，能改变有限时间内的放大，但不改变乘子模长。位移超过两米之前就停止记录，数学上的不稳定依然存在。稳定图的红绿格来自有限网格上的数值周期积分，边界没有经过严格认证。调制很浅时，主不稳定舌的阈值只是渐近参考。紫色条表示瞬时刚度，它不移动锚点，也不让基座运动。线圈、质量块大小、阻尼器和选定的原长都是示意。每条记录用一个固定的绘图比例，覆盖整个求解范围。理想的水平轨道平衡了重力。泵浦瞬时功率由刚度变化率算出，不是外加驱动力乘以速度。

物理教程

## 泵浦改变弹簧的规律

**背景** 刚度随时间变化，即使没有单独的力去推质量块，也能把能量送进运动里。从同一个初态出发，有限时间内放大多少，取决于刚度变化的相位。

**为什么值得理解** NIST DLMF 第 28.29 节定义了 Hill 方程的单周期矩阵和 Floquet 特征值。本实验的版本带阻尼，另外用到一个行列式恒等式，并单独积分做功。

先抓重点

- **核心问题**: 只测一个周期，怎样就能预测长期的线性增长？
- **一句话直觉**: 让两个独立的初态各走一个周期，拼出单周期映射，再看它的特征值模长比一大还是比一小。

### 核心数学模型

#### 刚度受调制的运动方程

$$
m\ddot x+2m\zeta\omega_0\dot x+k_0[1+h\cos(\Omega t+\phi)]x=0,\quad \omega_0=\sqrt{k_0/m}
$$

调制深度小于一，所以任何时刻刚度都是正的。

#### 泵浦输入的功率

$$
P_{\mathrm{pump}}=\tfrac12\dot k(t)x^2,\quad E=\tfrac12m\dot x^2+\tfrac12k(t)x^2
$$

泵浦做功可正可负，和黏性阻尼生的热分开积分。

#### 单周期映射

$$
\begin{bmatrix}x(T)\\\dot x(T)/\omega_0\end{bmatrix}=\Phi(T)\begin{bmatrix}x(0)\\\dot x(0)/\omega_0\end{bmatrix},\quad T=2\pi/\Omega
$$

矩阵的两列分别来自两个独立的归一化初态。

#### 增长率与行列式

$$
\gamma=T^{-1}\ln\rho(\Phi),\quad \det\Phi=e^{-2\zeta\omega_0T}
$$

增长率为正，说明线性系统不稳定；行列式另外提供一个数值检验。

#### 调制很浅时主不稳定区的阈值

$$
\Omega\simeq2\omega_0,\quad h_{\mathrm{crit}}\simeq4\zeta
$$

这是弱调制、弱阻尼下的渐近关系，稳定图并不是用它算出来的。

### 常见难点

#### 零仍是解

**容易误解** 乘子不稳定，那从哪里出发都会越振越大。

**正确理解** 严格为零的初态一直是零；某些特定方向的初态还可能先变小。

#### 相位影响起步，不影响稳定性

**容易误解** 改变起始相位，稳定舌就会移动。

**正确理解** 相位改变的是初态有多少落在增长的解上；相位平移时，单周期矩阵的特征值不变。

#### 线性增长不会饱和

**容易误解** 记录停下来，说明运动已经物理饱和了。

**正确理解** 模型里没有非线性饱和，增长会延续到显示的记录之外。

### 动手实验

1. 01

   #### 寻找不稳定舌

   采集主不稳定舌和失谐两种释放。

   **你会看到：** Floquet 增长率为正，运动就会长期增长。

2. 02

   #### 比较泵浦与阻尼

   从三个视角查看弹簧和阻尼器的箭头。打开“能量与功率”，增大阻尼，再精细单步，看泵浦功率时正时负。

   **你会看到：** 净能量变化，和单独积分的泵浦做功与阻尼损耗对得上。

3. 03

   #### 检验相位与零初态

   改变调制相位，再选择严格零初态。

   **你会看到：** 有限时间内的放大变了，乘子模长不变；零初态始终静止。

4. 04

   #### 构建稳定图

   生成稳定图，选择网格，再减半时间步长。

   **你会看到：** 所选网格点的单周期积分附带行列式检验和步长减半检验。

物理结论

不稳定的线性系统会放大扰动；但初态如果严格为零，它也变不出运动来。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)