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title: "缩放绘图仪互动实验｜Sandbox Physics"
description: "四根杆怎样把图案按比例复制？铰接的平行四边形让固定支点、描点头和笔尖始终共线，到支点的距离比也不变。原图每一点都按这个比例复制，形状就保留下来。倍率加倍，长度和笔尖速率都加倍，围成的面积变成四倍。"
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last_modified: "2026-10-23"
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连杆几何 · 相似变换

# 缩放绘图仪

**四根杆怎样把图案按比例复制？** 铰接的平行四边形让固定支点、描点头和笔尖始终共线，到支点的距离比也不变。原图每一点都按这个比例复制，形状就保留下来。倍率加倍，长度和笔尖速率都加倍，围成的面积变成四倍。

引导蓝色描点头沿圆、椭圆或花形移动，四根铰接杆让珊瑚色笔尖画出放大的同形副本。改变倍率，比较长度、速率和面积怎样变化。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

刚性杆和无摩擦铰链给出精确的平面几何关系。描点头沿指定图案运动，不考虑受力、惯性、铰链间隙、弯曲和笔尖摩擦。改变倍率时会重新设置杆长与铰孔位置。

物理教程

## 四根杆怎样保留整幅图的形状

**背景** 缩放绘图仪靠铰接杆复制图案。原图上的每一点，都由几何关系连接到副本上的一点。

**为什么值得理解** 机构不需要知道自己描的是圆还是花，也能把整条曲线放大。

先抓重点

- **核心问题**: 每段长度都放大两倍，围成的面积也只变成两倍吗？
- **一句话直觉**: 固定支点、描点头与笔尖始终共线，距离比不变。长度按这个比缩放，围成的面积按它的平方缩放。

### 核心数学模型

#### 平行四边形的构造

$$
\mathbf D=\mathbf A+\mathbf v,\quad \mathbf B=k\mathbf A,\quad \mathbf C=\mathbf B+\mathbf v,\quad \mathbf Q=\mathbf B+k\mathbf v
$$

固定支点为原点。两个基本向量的长度都等于短杆长；按相同倍率延伸，描点头与笔尖就和原点共线。

#### 长度、速度与面积的倍率

$$
\mathbf Q=k\mathbf D,\qquad \dot{\mathbf Q}=k\dot{\mathbf D},\qquad A_Q=k^2 A_D
$$

面积关系用于简单闭曲线的内部，或分别用于每个叶瓣。每次绘图中倍率为固定正数。

### 常见难点

#### 铰孔位置必须配合

**容易误解** 随便四根杆接成平行四边形，就能按任意倍率复制。

**正确理解** 两根长杆、中间铰孔位置和两根短杆必须配套。倍率控件会同时改变这些几何关系。

#### 面积比长度增长得快

**容易误解** 半径加倍，圆面积也只加倍。

**正确理解** 横竖两个方向都放大两倍，每一小块面积就变成四倍，整个简单闭合图形的面积也变成四倍。

### 动手实验

1. 01

   #### 描一个圆

   选择圆，沿轨迹拖动蓝色描点头。

   **你会看到：** 珊瑚色笔尖沿更大的圆移动，三个点始终位于从固定支点出发的同一条射线上。

2. 02

   #### 换整幅图案

   保持倍率，试试椭圆、八字形和五瓣花。

   **你会看到：** 同一套连杆复制每一个转弯。换图案不会改变长度比或速率比。

3. 03

   #### 比较长度与面积

   选圆，把绘图倍率从二改成三。

   **你会看到：** 副本半径变成原来的三倍，面积变成九倍；笔尖速率也是描点头的三倍。

物理结论

相似变换保留角度与形状，长度、速率和面积却按不同次方增长。

来源：[US Army Engineer School · Engineering Drawing II, §6](https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED221758.pdf) · [He et al. · Scissor lift virtual work](https://ietresearch.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1049/joe.2018.8961) · [MIT · Mechanical advantage](https://ocw.mit.edu/courses/2-007-design-and-manufacturing-i-spring-2009/29b95c6d8570f9aeb140c151747c96e3_MIT2_007s09_lec01.pdf)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)