---
title: "外滚绘线机互动实验｜Sandbox Physics"
description: "一个滚圆，画出一整族花形。 圆心不停走，笔尖为什么在尖点停住？"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/labs/outer-rolling-tracer/"
language: "zh-CN"
page_type: "lab"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/labs/outer-rolling-tracer/"
last_modified: "2026-10-22"
---

滚动几何 · 外旋轮线

# 外滚绘线机

引导圆盘沿固定圆外侧滚动。画心形线、肾形线和多尖点曲线，再让笔尖伸出轮缘形成回环。尖点处笔尖停住，圆心却继续运动。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

指定理想平面无滑动滚动，半径比取整数；架高光学描点臂可伸出滚轮。它是几何绘线装置，不是带载齿轮或转子发动机模拟。

物理教程

## 笔尖为什么在尖点处停住？

**背景** 固定在滚圆上的点，同时参与圆心平移与圆盘自转。

**为什么值得理解** 从接触条件理解眼前的曲线。

先抓重点

- **核心问题**: 圆心在走，轮缘上的点却能静止吗？
- **一句话直觉**: 接触处圆心平移与半径自转贡献反向速度；轮缘笔在每个尖点经过这一瞬时静止状态。

### 核心数学模型

#### 圆心与自转

$$
\mathbf C=(R+r)(\cos\theta,\sin\theta),\quad\phi=(n+1)\theta
$$

半径比取正整数，内滚至少为二。自转在固定坐标中计量。

#### 求解后的笔尖轨迹

$$
\mathbf P=\mathbf C-d(\cos\phi,\sin\phi),\quad d=kr,\quad n=R/r
$$

笔尖在滚体上偏置固定，初始半径在两种装置中都指向接触点。

#### 尖点接触

$$
d=r,\quad\theta=\frac{2\pi j}{n}\;\Longrightarrow\;\mathbf P=\mathbf K,\quad\dot{\mathbf P}=\mathbf 0
$$

整数尖点相位使轮缘笔到达瞬时接触并静止。

#### 无滑动材料点速度

$$
\mathbf v_K=\dot{\mathbf C}+\dot\phi\,\hat{\mathbf z}\times(\mathbf K-\mathbf C)=\mathbf0,\quad\mathbf K=R(\cos\theta,\sin\theta)
$$

接触标记沿轨迹移动，但此处材料点相对于固定圆瞬时静止。

#### 速率缩放

$$
\mathbf v=\omega\frac{d\mathbf P}{d\theta},\quad\mathbf a=\omega^2\frac{d^2\mathbf P}{d\theta^2},\quad T=\frac{2\pi}{\omega}
$$

同一运动学的解析导数生成读数、场景时序、曲线与导出。

### 常见难点

#### 接触位置不是固定材料点

**容易误解** 移动的接触标记一定和滚动表面材料同速。

**正确理解** 不同材料点依次到达标记处。应计算刚体上当时材料点的速度，不能把接触位置序列求导当成材料速度。

#### 此处无滑动是一项假设

**容易误解** 画面证明任意速率都能靠摩擦维持接触。

**正确理解** 圆心轨道与无滑动自转均为指定；接触力、摩擦极限、功率、惯性与脱离需要另建动力学模型。

### 动手实验

1. 01

   #### 跟住接触点

   选择接触视角，缓慢推进公转相位，查看速度分解。

   **应该观察到：** 接触位置前进，但滚体上当时处于接触处的材料点速率为零。

2. 02

   #### 找到尖点

   选择心形线，将相位设为零；再把笔位向内、向轮缘之外移动。

   **应该观察到：** 轮缘笔在尖点处停住。内移后轨迹圆滑，外伸后出现回环。

3. 03

   #### 先改形状，再改时序

   尝试不同整数半径比，再将指定公转角速率加倍，比较轨迹、速度与加速度。

   **应该观察到：** 只改速率不改轨迹；速度加倍，加速度变四倍，构型仍在公转一圈后闭合。

物理结论

笔位控制尖点与回环，无滑动接触决定自转速率。

几何来源：[Robert Ferréol · Hypotrochoid](https://mathcurve.com/courbes2d.gb/hypotrochoid/hypotrochoid.shtml) · [Epitrochoid](https://mathcurve.com/courbes2d.gb/epitrochoid/epitrochoid.shtml)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)