---
title: "光镊：用布朗运动标定刚度互动实验｜Sandbox Physics"
description: "小球的热运动怎样告诉我们光阱有多硬？光阱越硬，小球的热运动幅度越小，偏离中心后回得也越快。温度已知时，位移方差能给出刚度；再知道流体阻力，就能用弛豫速度做第二次估计。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-tweezers-calibration/"
language: "zh-CN"
page_type: "lab"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/labs/optical-tweezers-calibration/"
last_modified: "2026-10-23"
---

B-X2 · 从小球运动找到力的刻度

# 光镊：用布朗运动标定刚度

**小球的热运动怎样告诉我们光阱有多硬？** 光阱越硬，小球的热运动幅度越小，偏离中心后回得也越快。温度已知时，位移方差能给出刚度；再知道流体阻力，就能用弛豫速度做第二次估计。

在液体中记录小球位置信号，计算位移谱，再比较两种刚度估计。采样变慢、曝光变长时，看看标定为什么会偏。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假定光阱已经稳定，横向恢复力近似弹簧力。只计算一个过阻尼布朗坐标，阻力采用远离壁面的 Stokes 模型，温度固定为已知的三百开尔文。探测器电压到距离的换算已知。热轨迹用精确转移推进，探测器对有限曝光取平均，谱和刚度都从这些存下来的样本计算。装置图不计算光学力，也不证明轴向稳定。不含惯性、壁面校正、流体记忆、加热、逃逸、黏弹性和分子连接。装置与小球都有示意放大。

已采集数据

## 从运动找到力的刻度

采集一份样本后，在这里查看测量和分析。

物理假定与来源

只计算已知固定温度下的一个简谐横向坐标，轴向俘获稳定性事先假定。采用远离壁面的球形 Stokes 阻力、热白噪声和已知距离标定。曝光沿物理轨迹取数值平均。功率谱与两种估计都用存下来的探测样本。不模拟分子力曲线，也不计算光学力场。液室和小球尺寸为示意，位移另按标出的倍数放大，不截断轨迹，也不设硬壁。

[Jun et al. (2014) · calibration comparison](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC4167536/)
[Sarshar et al. (2014) · displacement and spectral methods](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC4221290/)
[Pérez-García et al. · finite detector exposure](https://arxiv.org/abs/2305.07245)

## 阅读实验的原始证据

模拟采用上面列出的近似。接着看历史装置怎样测量，观测支持了什么判断，又有哪些解释上的限制。

[光镊与力的标定](https://sandboxphysics.com/zh/stories/probe-evidence/optical-tweezers-force-calibration/) [查看六条阅读路径](https://sandboxphysics.com/zh/stories/probe-evidence/)

物理教程

## 用热运动标定力

**背景** 水里的介电小球被光抓住后，仍会不断受到液体的随机推动。靠近阱中心时，恢复力近似弹簧力。

**为什么值得理解** 小球抖多远、回多快，都能用来估计刚度，但需要的标定条件不同。

先抓重点

- **核心问题**: 小球的热运动怎样告诉我们光阱有多硬？
- **一句话直觉**: 方差需要温度和距离刻度；弛豫速度还需要流体阻力。

### 核心数学模型

#### 热运动的位移方差

$$
\langle(x-\bar x)^2\rangle=\frac{k_{\rm B}T}{\kappa}
$$

关系适用于平衡态的简谐坐标。有限曝光会平均掉一部分运动，让实测方差变小。

#### 阻力与转折频率

$$
\gamma=6\pi\eta a,\qquad f_c=\frac{\kappa}{2\pi\gamma}
$$

假定小球为球形，远离壁面，流体为牛顿流体。频率按每秒周期数计。

#### 单边位移谱

$$
S_x(f)=\frac{k_{\rm B}T}{\pi^2\gamma(f^2+f_c^2)}
$$

连续平衡参考谱积分后等于位移方差。图中曲线则由已存电压样本换算位移后，用 Welch 方法估计。

### 常见难点

#### 谱好看，力的刻度仍可能错

**容易误解** 谱线光滑，刚度就一定准确。

**正确理解** 还要知道距离换算、流体阻力和探测带宽。曝光或采样不满足条件时，简单衰减法不会给出刚度数值。

### 动手实验

1. 01

   #### 采一条带宽足够的轨迹

   用“看清转折”，采集并分析。

   **你会看到：** 方差和短延迟衰减，分别从同一组位置样本估计刚度。时长有限，两者会有随机差别。

2. 02

   #### 降低探测带宽

   采集“慢采样”和“长曝光”，比较轨迹与功率谱。

   **你会看到：** 采样太慢，看不清弛豫；曝光太长，位置分布被平均得更窄，方差法给出的刚度会偏大。

3. 03

   #### 故意用错黏度

   采集“阻力假定错误”，比较两种刚度。

   **你会看到：** 分析采用的黏度改变后，衰减法的刚度也变。方差法依赖已知温度，不依赖阻力假定。

物理结论

只有位移范围和带宽经过标定，小球才能成为定量测力工具。

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)