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title: "光学 Fourier 处理器互动实验｜Sandbox Physics"
description: "两片透镜之间放一块掩模，怎样让图像只剩边缘、变模糊或去掉重复纹理？第一片透镜把图像的空间频率铺在 Fourier 面上：粗轮廓靠近中心，细节在外圈。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/optical-fourier-processor/"
last_modified: "2026-10-27"
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光学 062 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

# 光学 Fourier 处理器

**两片透镜之间放一块掩模，怎样让图像只剩边缘、变模糊或去掉重复纹理？** 第一片透镜把图像的空间频率铺在 Fourier 面上：粗轮廓靠近中心，细节在外圈。在那里放掩模，挡住哪些频率，图像就少了哪些。挡住中心，只剩边缘；挡住外圈，图像变模糊；用周期排列的挡片盖住重复纹理的亮点，纹理就没了。第二片透镜再把像合回来，只是上下颠倒。

在相干 4f 光台上处理图像：有八种无源振幅或相位滤波器，频域掩模可以移动。可以查看接收面上的倒像，让相位物体显出反差，并用匹配相关寻找图案。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

透镜理想，焦距相等，瞳孔不受限；输入是合成的有限相干场，Fourier 面光阑是无源的可编程光阑。计算用每边五百一十二点、补零的复数 FFT 和点采样，因此输出在数值上是周期的。它不对相机像素面积积分，也不只凭强度恢复相位。显示采用固定的对数标尺，场景各部分比例不同。不考虑像差、非相干光和噪声，也没有经过专家认证。

物理教程

## 检验光学 Fourier 处理器的物理过程

**背景** 透镜把相干复振幅按空间频率分开；在后焦面上，位置和频率满足 $X_F=\lambda f\nu_x$。放在这里的掩模改的是光场的频谱，不是对相机强度图做 Fourier 变换。

**为什么值得理解** 两片透镜之间放一块掩模，怎样让图像只剩边缘、变模糊或去掉重复纹理？

先抓重点

- **核心问题**: 两片透镜之间放一块掩模，怎样让图像只剩边缘、变模糊或去掉重复纹理？
- **一句话直觉**: 两只正透镜做了两次正向变换，所以 $U_{\rm out}(x,y)=\mathcal F^{-1}\{H\widetilde U_{\rm in}\}(-x,-y)$。负号不能丢：接收面上的像在两个横向上都是倒的。

### 核心数学模型

#### 前、后焦面的场

$$
\begin{aligned}\widetilde U(\nu_x,\nu_y)&=\iint U(x,y)e^{-2\pi i(\nu_x x+\nu_y y)}\,\mathrm dx\,\mathrm dy\\U_F(X,Y)&=\frac{e^{2ikf}}{i\lambda f}\widetilde U\left(\frac X{\lambda f},\frac Y{\lambda f}\right)\end{aligned}
$$

物面在第一块理想透镜前一个焦距处；滤波片在它后面一个焦距，也正好在第二块透镜前一个焦距；接收器在第二块透镜后一个焦距。公共载波相位不改变强度。

#### 无源掩模与相位

$$
\begin{aligned}H_{\rm low}&=P\,\mathbf1_{|\boldsymbol\nu-\boldsymbol\nu_c|\le r_\nu}\\H_{\rm high}&=P-H_{\rm low}\\H_{\rm phase}&=P\exp\left(i\phi_H\mathbf1_{|\boldsymbol\nu-\boldsymbol\nu_c|\le r_\nu}\right)\\P&=\mathbf1_{|\boldsymbol\nu|\le14\,\mathrm{mm}^{-1}}\end{aligned}
$$

带通保留半径在设定值一半到全值之间的频率；方向模式是同样半宽的狭缝；对称陷波同时挡住正负两个中心。相位圆片按所选波长编程，不由某个未指定的玻璃厚度推算。载片是频域面上的光阑，理想透镜的孔径仍是无限大。

#### 功率与显示亮度分开

$$
\begin{aligned}T&=\frac{\sum|\widetilde U H|^2}{\sum|\widetilde U|^2}\\I_{\rm out}&=|U_{\rm out}|^2\\B_I&=\min\left(1,\frac{\ln(1+10^{e_G}I/I_{\rm inc})}{\ln5}\right)\end{aligned}
$$

由 Parseval 定理，用完整采样的接收面光场算出的透射率与上式相同；看到的五毫米裁剪区并不包含全部功率。输入、滤波后和对照三幅图共用一种固定的显示映射，频域诊断另用一种固定的对数映射。所有原始探针读数都是线性的。

#### 相位变成反差，能量并未增加

$$
\begin{aligned}U_{\rm weak}&\simeq1+i\varphi\\H(0)&=i\\U_{\rm contrast}&\simeq i+i\varphi\\I_{\rm contrast}&\simeq1+2\varphi\end{aligned}
$$

这个弱相位例子假设背景均匀，圆片只作用于零级。数值模型用的是实际的有限照明和有限圆片，所以晕圈和背景泄漏都还在。模拟图像完整计算，不用这条线性公式代替。

#### 无源匹配相关

$$
\begin{aligned}H_{\rm match}&=P\frac{\widetilde G^*}{\max|\widetilde G|}\\U_{\rm corr}(x,y)&\propto\iint U(\xi,\eta)G^*(\xi+x,\eta+y)\,\mathrm d\xi\,\mathrm d\eta\end{aligned}
$$

模板是一个平滑的开口圆环符号。相关运算用同一份 FFT 数据和无源的归一化复透射率。两个相同的符号在反号位移处各产生一个峰。圆盘会给出一个宽的误响应，甚至更亮：未经局部归一化的正模板相关不能当分类器用。这里是理想的复数掩模，不是实际制作的全息片，也不是经过认证的识别系统。

#### 采样与实际比例

$$
\begin{aligned}L_{\rm num}&=16\,\mathrm{mm},\quad N=512\\\Delta x&=L_{\rm num}/N\\\Delta\nu&=1/L_{\rm num}\\a_H&=\lambda f r_\nu\end{aligned}
$$

输入照明在四毫米方形边界处渐降到零。补零能减少循环回卷，但离散输出仍是周期的；硬边掩模对频域格点落在哪里很敏感。样本是点强度，不是按面积积分的相机像素。改变波长或焦距时，掩模会重新编程以保持频率坐标不变，所以它的实际尺寸会变。光台的轴向比例和横向细节比例不同。

### 常见难点

#### 一张强度照片不包含完整光场

**容易误解** 对输入照片做 Fourier 变换，就能复现任意物体的光学处理。

**正确理解** 透镜作用的是复振幅。透明的相位物体，输入强度几乎均匀，加上相位圆片后结构却能显现。模拟知道编程设定的复透射率，并不是从照片里找回丢失的相位。

### 动手实验

1. 01

   #### 场景 1：模糊与边缘

   在分辨率靶上比较开放载片、低通和高通。接收的像是倒的；高通让边缘突出，但损失了大部分功率。

   **你会看到：** 低通让细节变柔和。去掉频谱中心后，边缘相对背景更亮，但能量并没有增加。

2. 02

   #### 场景 2：抹去一对条纹峰

   在条纹预设里点击一对频谱峰，移动或加宽对称陷波。去掉条纹的同时，与它们重叠的物体信息也一起丢了。

   **你会看到：** 水平的频域狭缝保留沿水平方向的变化，也就是物面上的竖直条纹。转动狭缝，所选的频率方向也跟着转。

3. 03

   #### 场景 3：不可见相位变反差

   比较相位细胞在开放载片和四分之一波圆片下的样子。把圆片相位反过来，再对两个符号试试匹配相关。

   **你会看到：** 相位滤波不改变载片内的总功率，只是把亮度重新分配。相关峰标出的是反号位移，不是恢复出来的物体像素。

物理结论

实际的频域掩模改的是相干复振幅，不是照片。倒像的强度、通光量和相位诊断要分开看。

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)