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title: "光纤从光线到模式互动实验｜Sandbox Physics"
description: "光纤里光线来回反射的图像，什么时候失效，必须改用模式来描述？纤芯只有几个波长粗的时候。"
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last_modified: "2026-10-29"
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光学 083 · 光纤、结构光与现代波动光学

# 光纤从光线到模式

**光纤里光线来回反射的图像，什么时候失效，必须改用模式来描述？** 纤芯只有几个波长粗的时候。由纤芯半径、波长和数值孔径算出的 V 数，决定能容纳多少个导模；V 数低于约 2.4 时只剩一个模式，用光线以不同角度来回反射的图像就说不通了。

在三维剖切光纤中改变纤芯半径，对照光线与波动两种图像。光线按 Snell 定律逸出，导模是带包层尾场的 Bessel 本征模，近场样本可以冻结。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型采用弱导标量近似，包层无限厚，折射率为假定的无色散值。只考察三族导模，不列出全部模式。几何测试光线单独计算。不涉及耦合和弯曲损耗，也不对应实测器件。

物理教程

## 检验光纤从光线到模式的物理过程

**背景** 光线可以按许多角度反射，波却必须在整圈纤芯边界上自洽。同一个半径和折射率台阶决定了 $V=\frac{2\pi a}{\lambda_0}\sqrt{n_1^2-n_2^2}$。纤芯缩小后，大多数波场不再被导引，尽管按几何光学仍可能发生全反射。

**为什么值得理解** 光纤里光线来回反射的图像，什么时候失效，必须改用模式来描述？

先抓重点

- **核心问题**: 光纤里光线来回反射的图像，什么时候失效，必须改用模式来描述？
- **一句话直觉**: 导模的场会伸进包层，传播常数介于两侧体折射率之间：$0<b=\frac{n_{\rm eff}^2-n_2^2}{n_1^2-n_2^2}<1$。接近截止时，尾场变得很宽，不会在纤芯壁处突然归零。图中三个模式族只是挑出来看的样本，不是全部模式。

### 核心数学模型

#### 空气接受角与更长的几何光程

$$
\begin{aligned}\sin\theta_{\max}&=\mathrm{NA}=\sqrt{n_1^2-n_2^2}\\n_1\sin\theta_{\rm core}&=\sin\theta_{\rm air}\\\delta t_{\rm ray}/L&=\frac{n_1}{c}(\sec\theta_{\rm core}-1)\end{aligned}
$$

空气折射率取一。测试光线从中心射入，是子午光线。延迟把它在纤芯中的路径与无色散介质中的轴向光线相比，只是几何估计；光线逸出后，这个数就不再代表导光。

#### 模式形状由边界匹配求出

$$
\begin{aligned}u^2+w^2&=V^2\\u\frac{J_{\ell-1}(u)}{J_\ell(u)}&=-w\frac{K_{\ell-1}(w)}{K_\ell(w)}\\F_\ell(\rho)&=\mathcal N\begin{cases}J_\ell(u\rho),&\rho\le1\\J_\ell(u)\dfrac{K_\ell(w\rho)}{K_\ell(w)},&\rho>1\end{cases}\end{aligned}
$$

归一化半径等于实际半径除以纤芯半径。普通 Bessel 函数和修正 Bessel 函数在边界上匹配场值和径向导数。显示的是实标量场，角向按余弦分布；简并的正弦取向和两个偏振方向在这里不另外计数。求根区间用已知的 Bessel 零点划定，紧贴截止处有一小段数值排除区，已写进文档。

#### 归一化场与有限图像

$$
\begin{aligned}\int_{\mathbb R^2}|\psi|^2\,d^2\rho&=1\\b&=w^2/V^2\\n_{\rm eff}^2&=n_2^2+b(n_1^2-n_2^2)\\P_{\rm crop}/P&\approx\sum_j |\psi_j|^2\Delta A_\rho\end{aligned}
$$

弱导近似下，标量范数代表功率。归一化用纤芯内和无限尾场的 Bessel 积分。记录的图像保留原始采样和设置，裁剪区内的功率由这些像素求和得到。接近截止时，宽尾场可能伸出显示的方图。常用的高频模式数估计不当作精确计数。

#### 群延迟属于导模，不属于测试光线

$$
\begin{aligned}\eta_m&=P_{{\rm core},m}/P_m\\n_{g,m}&=\frac{n_2^2+\eta_m(n_1^2-n_2^2)}{n_{{\rm eff},m}}\\\tau_{g,m}/L&=n_{g,m}/c\end{aligned}
$$

材料折射率无色散时，对标量 Helmholtz 本征值求导，得到模式平均折射率平方除以有效折射率。表中扣除了体包层中的传播，延迟差只统计已解出并检查的模式族。接近截止时，纤芯功率占比和群延迟一起变化。这不是材料色散，不是对完整模式谱的脉冲计算，也不是从光强图反推出来的延迟。

### 常见难点

#### 过了著名的截止值，基模就消失了吗？

**容易误解** 低于第一个截止值，光纤就导不了光。

**正确理解** 第一个高阶 LP 模式族在普通 Bessel 函数的第一个零点截止。在包层无限大的理想模型里，基模没有正的截止值。真实光纤的包层有限，束缚弱时仍可能产生很大的弯曲损耗或泄漏损耗；本模型不预测这些损耗。

### 动手实验

1. 01

   #### 场景 1：基模仍被导引

   从细纤芯开始。选第一个高阶模式族，端面是空的；再回到基模，它仍被导引。

   **你会看到：** 实验室 X 是光纤的直轴，Y 竖直，Z 与它们构成横截面。半径指纤芯半径，不是直径。真空波长以纳米输入，半径以微米输入。纤芯折射率固定为一点四六，包层比它低一个可调的差值。这些是假定的无色散教学值，不是石英的 Sellmeier 拟合。

2. 02

   #### 场景 2：双波瓣导模

   增大纤芯半径，看圆柱界面和本征值一起变化。选一个双瓣模式，转动波瓣轴，传播常数不变。

   **你会看到：** 空气中的入射角从光纤轴量起；全反射的入射角从纤芯壁的法线量起。可见的光纤长五百微米，纵向和横向用不同的绘图比例。外层包层表面只是剖切出来的一块。光线碰壁而没有全反射时，只追踪透射的几何方向，直到剖切边缘；部分反射的 Fresnel 分支忽略不计。

3. 03

   #### 场景 3：径向节点与光线逸出

   采集一张端面像，改变波长，再比较冻结像和实时像。另外，把琥珀色测试光线移出接受锥：它会折射进包层，不再一直反射下去。

   **你会看到：** 每个导模都单独理想地激发，与测试光线无关，并在无限包层上归一化。端面像按像素面积对场的平方取样，不推断光线怎样耦合进导模。剖切的实体端面和放大的数据图显示同一个场，放大的方图伸进理想包层更远。显示用固定的平方根曲线，不自动曝光。几何额外延迟不是模式群延迟，也不是脉冲展宽模拟。

物理结论

反射的光线解释接受角，与边界匹配的波解释哪些图样真正能传播。两种图像都要记住，也要记住它们各自的适用范围。

## 相关实验与文章

探针与测量 · 阅读路径

### 受控光与精密测量

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **高锟：光能导进去，还得传得足够远**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/probe-evidence/kao-loss-and-fibre-communication/)
2. [实验 **光纤脉冲传播** 观察脉冲展宽](https://sandboxphysics.com/zh/labs/fiber-pulse-propagation/)
3. [实验 **梯度折射率光学观测站** 看渐变平板里陡的光线怎样追上来](https://sandboxphysics.com/zh/labs/gradient-index-worlds/)

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)