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title: "牛顿摆与接触时间互动实验｜Sandbox Physics"
description: "牛顿摆总是严格地一球进、一球出吗？质量相同、接触近似弹性时，一球入射会让末球带走大部分能量，但不是严格的一球进、一球出。"
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last_modified: "2026-11-04"
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M036 · 有限弹性接触

# 牛顿摆与接触时间

**牛顿摆总是严格地一球进、一球出吗？** 质量相同、接触近似弹性时，一球入射会让末球带走大部分能量，但不是严格的一球进、一球出。多处接触会同时压缩，其余球仍有小幅运动；质量不等、间隙和耗散都会改变出球方式。

把牛顿摆的碰撞放慢，观察多对球怎样同时受压。分别改变球的质量，再试间隙、刚度和耗散，看“一球进、一球出”何时开始走样。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

每个球的质量集中在球心，由无质量刚性导杆限制在竖直平面内运动；导杆可拉也可推。不考虑球的自旋、导杆及支架碰撞、空气阻力和塑性形变。所有球对都计算只推不拉的赫兹接触。球的半径相同，有效质量可独立改变，可理解为理想化包覆球或配重球；有效模量已包含两侧表面的柔度。可选的截断 Hunt–Crossley 耗散保证接触力不变成拉力，其系数单位是秒每米，并非经过标定的恢复系数。微小重叠表示压陷，不是刚性实体互相穿透；压陷达到半径的百分之五便停止记录。发光接触斑透视标注赫兹接触面积。重力和固定支点会改变总动量，理想导杆不做功；机械能与累计耗散之和用于检验积分。回放循环展示同一次首次碰撞及随后摆动，接触阶段额外慢放，不模拟长期同步过程。

物理教程

## 一次碰撞需要时间

**背景** 拉起一球，末球会摆出去。把碰撞放慢，就会看到最后一球离开之前，多处接触已经一起受压。

**为什么值得理解** 质量相同、接触近似弹性时，熟悉的规律很准确。有限压缩既解释细小偏差，也解释质量不等或间隙出现后为何明显走样。

先抓重点

- **核心问题**: 牛顿摆总是严格地一球进、一球出吗？
- **一句话直觉**: 冲击以有宽度的力脉冲穿过多个同时存在的接触，逐次两球碰撞只是近似。

### 核心数学模型

#### 两个球的弹性压陷

$$
F_{\mathrm H}=k\delta_+^{3/2},\qquad k=\frac43E^*\sqrt{R^*},\qquad R^*=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}
$$

压陷用未变形球面的重叠量表示。分开后，正部运算让接触力归零；有效模量已经计入两侧表面。

#### 摆球同时受各处接触力

$$
m_iL^2\ddot\theta_i=\mathbf F_i^{\mathrm{contact}}\cdot\frac{\partial\mathbf r_i}{\partial\theta_i}-m_igL\sin\theta_i
$$

每一对球的接触力都计入合力，导杆让球心沿圆运动。速度由连续受力求出。

#### 耗散与外部支撑

$$
F=F_{\mathrm H}\max(0,1+\alpha\dot\delta),\qquad E_{\mathrm{mech}}+Q=E_0,\qquad \Delta\mathbf P=\int\mathbf F_{\mathrm{external}}\,dt
$$

球面相互靠近时，压陷速度为正；耗散功累计为热。重力和固定支点会交换动量，理想导杆虽然不做功，仍能改变动量。

### 常见难点

#### 两个守恒式不够决定整列速度

**容易误解** 只要守恒，就一定只能飞出一个球。

**正确理解** 一整列有许多待定速度，接触定律和作用时间才决定具体运动。默认情况下末球得到大部分能量，其余球仍有小幅运动。

#### 回放对应一次有限记录

**容易误解** 每次循环都接着上次继续摆。

**正确理解** 循环会重新播放同一次首次碰撞及随后摆动。接触阶段额外放慢，时钟显示物理时间。

### 动手实验

1. 01

   #### 看清脉冲

   选“一球入射”，在接触发光时暂停，对照下方各行。

   **你会看到：** 多行接触同时亮起，第一对球的力脉冲有可测的半高宽。

2. 02

   #### 改变出球方式

   依次试“两球入射”“中间一个重球”和“球间留小间隙”；点任意摆球，修改它自己的质量。

   **你会看到：** 出球的能量分配和接触重叠都会改变，修改后的质量保存在对应球上。

3. 03

   #### 分清刚度与损耗

   先增大“接触有效模量”，再选“接触发生耗散”。

   **你会看到：** 弹性接触越硬，脉冲越短；耗散还会把机械能转成热，让出球摆幅降低。

物理结论

先看脉冲宽度和接触重叠，再判断能不能把摆列近似成一连串独立碰撞。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)