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title: "磁共振频率编码：把位置变成音高互动实验｜Sandbox Physics"
description: "一个线圈同时听到所有自旋。梯度场怎样告诉它每个自旋在哪里？在扫描仪里加一个随位置变强的磁场，一侧的质子就比另一侧进动得快，每个位置于是有了自己的频率。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/mri-frequency-encoding/"
last_modified: "2026-10-30"
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FR35 · 磁共振

# 磁共振频率编码：把位置变成音高

**一个线圈同时听到所有自旋。梯度场怎样告诉它每个自旋在哪里？** 在扫描仪里加一个随位置变强的磁场，一侧的质子就比另一侧进动得快，每个位置于是有了自己的频率。线圈收到的仍是一个总信号，但它恰好是水分布的傅里叶变换，做一次傅里叶求和就还原出剖面。采样有多密决定视野，采样持续多久决定像素大小。

两根水管放在梯度磁场里，各自以不同频率进动。线圈只记下它们的总和，一次傅里叶求和就把这份记录变回一条剖面。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

一维模型，参考系以主磁场的 Larmor 频率旋转。水管视为均匀的自旋块，线圈灵敏度处处相同。理想 90° 脉冲之后，先加预散相梯度，再加读出梯度；记录的样本是这些自旋块的解析傅里叶变换，乘以单指数的 T2\* 衰减，再加上带种子的复高斯噪声。图像是对这些记录样本做逆离散傅里叶求和的结果。不含化学位移、梯度非线性、涡流和人体；数值只用于教学，不代表扫描仪性能。

线圈记录下的信号

由这份记录算出的剖面

更多数值与检验方法

- **样本时间间隔**: $0$
- **空间频率步长**: $0$
- **达到的最大空间频率**: $0$
- **读出时长**: $0$
- **回波时间**: $0$
- **视野两端的频率差**: $0$
- **选中水管的真实中心**: $0$
- **选中水管折入视野后的中心**: $0$
- **读出结束时剩余的横向信号**: $0$
- **接收噪声相对总信号**: $0$
- **图像能量与样本能量之比（Parseval，应为 1）**: $0$

黄色剖面只由记录样本算出。蓝色虚线是模型物体本身，从不经过重建，所以两者之差如实反映了有限采样、衰减和噪声的代价。

物理教程

## 把位置写成频率

**背景** 90° 脉冲之后，水里的质子磁化翻到横向平面，绕主磁场进动。样品外面只有一个接收线圈，它收到的是所有质子信号的总和。

**为什么值得理解** 总和不带地址。没有梯度时，两根位置不同的水管与一根同样水量的水管给出完全相同的信号。成像的第一步，是让进动频率随位置而变。

先抓重点

- **核心问题**: 一个线圈同时听到所有自旋。梯度场怎样告诉它每个自旋在哪里？
- **一句话直觉**: 梯度附加一个磁场 $Gx$，位于 $x$ 的自旋比参考频率快 $\bar\gamma Gx$ 赫兹。经过时间 $t$，它多转了 $2\pi kx$，其中 $k=\bar\gamma Gt$。于是线圈信号正是密度的傅里叶变换在这些 $k$ 上的取样，做一次逆傅里叶求和就得回剖面。

### 核心数学模型

#### 整个样品的信号

$$
s(t)=e^{-t/T_2^{*}}\int\rho(x)\,e^{-i2\pi k(t)x}\,\mathrm{d}x,\qquad k(t)=\bar\gamma\int_0^t G(\tau)\,\mathrm{d}\tau
$$

旋转参考系，质子的 $\bar\gamma=\gamma/2\pi=42.576\,\mathrm{MHz/T}$。负号沿用 MIT 6.3000 讲义的约定：正梯度使相位减小。

#### 采样决定视野和像素

$$
\Delta k=\bar\gamma G\,\Delta t,\qquad \mathrm{FOV}=\frac{1}{\Delta k},\qquad \Delta x=\frac{\mathrm{FOV}}{N}
$$

时间间隔为 $\Delta t$ 的样本，在空间频率上相隔 $\Delta k$。视野之外的物体会折回视野之内。

### 常见难点

#### 梯度并不移动自旋

**容易误解** 梯度把水推到一边，线圈再感知它去了哪里。

**正确理解** 没有任何东西移动。梯度只改变每个自旋进动的快慢，于是它们的相位按位置散开成一把扇子。线圈测到的，是这把扇子与每个空间频率对齐的程度。

### 动手实验

1. 01

   #### 看箭头散开

   从“两根水管，两个音高”开始，看完舞台上一个周期。

   **你会看到：** 预散相时箭头散开；回波时刻它们重新对齐，线圈箭头最长；之后又向另一侧散开。

2. 02

   #### 拖动一根水管

   拖动黄框水管穿过梯度。

   **你会看到：** 它的频率偏移在中心处变号；剖面上的凸起跟着它走，直到离开视野，又从另一侧冒出来。

3. 03

   #### 把带宽减半

   选择“采样太慢，图像折叠”。

   **你会看到：** 视野缩到 117 mm，右边那根水管出现在左边，位置恰好是真实位置减去一个视野。

物理结论

梯度让频率变成一把尺子。样本在时间上的间隔决定视野，样本数决定像素大小，图像就是对线圈记录做的一次傅里叶求和。

## 相关实验与文章

磁共振空间编码 · 阅读路径

### 从进动的水到 k 空间、欠采样和扩散

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **质子磁化怎样进动、翻倒和恢复**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/precession-and-relaxation/)
2. [实验 **核磁反转恢复弛豫仪** 从信号过零点读出 T1](https://sandboxphysics.com/zh/labs/nmr-inversion-recovery/)
3. [文章 **梯度怎样把位置变成频率**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/mri-spatial-encoding/gradients-make-position-into-frequency/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)