---
title: "运动测量与数值微分互动实验｜Sandbox Physics"
description: "帧数越多，加速度就越准吗？不一定。帧挨得越近，差分越会放大位置噪声，加速度要差分两次，噪声放大得更厉害；帧隔得太远，又会漏掉运动的变化。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/labs/motion-measurement/"
language: "zh-CN"
page_type: "lab"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/labs/motion-measurement/"
last_modified: "2026-10-28"
---

M010 · 运动测量

# 运动测量与数值微分

**帧数越多，加速度就越准吗？** 不一定。帧挨得越近，差分越会放大位置噪声，加速度要差分两次，噪声放大得更厉害；帧隔得太远，又会漏掉运动的变化。先标定好像素，再对一段帧做局部拟合，通常比两种做法都准。

用模拟相机记录运动物体的像素位置，再用有限差分或局部拟合估计速度和加速度，看看噪声、混叠、标定偏差和积分漂移怎样影响结果。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

给定运动包含匀速漂移、恒加速和正弦振荡。理想正交相机按准确时刻采样水平像素；像素扰动、取整和目标越界都会影响恢复出的导数。

物理教程

## 运动测量与数值微分

**背景** 相机只在一个个时刻记下位置，从不直接测出速度或加速度。

**为什么值得理解** 速度和加速度只能从这些采样里算出来。用什么方法算，决定了噪声和细节各留下多少。

先抓重点

- **核心问题**: 帧数越多，加速度就越准吗？
- **一句话直觉**: 能恢复的，只有采样数据和标定确实支持的信息。

### 核心数学模型

#### 合成轨迹

$$
\begin{aligned}x(t)&=x_b+bt+\tfrac12ct^2\\&\quad+A\sin(2\pi ft+\phi)\end{aligned}
$$

这条运动规律用来生成像素和一条单独的对照曲线，估计器拿不到它。

#### 把记录的像素换算成位置

$$
\widehat x_i=\frac{u_i^{\mathrm{obs}}-\widehat u_0}{\widehat s}
$$

比例的单位是每米像素数。原点有误差时，所有位置平移同样的量，做差分时正好抵消。

#### 差分里的噪声

$$
\begin{aligned}\widehat v_i&=\frac{\widehat x_{i+1}-\widehat x_{i-1}}{2h}\\\widehat a_i&=\frac{\widehat x_{i+1}-2\widehat x_i+\widehat x_{i-1}}{h^2}\end{aligned}
$$

时间步变小，同样的位置误差在导数里可能变得更大。

#### 局部二次拟合

$$
\begin{aligned}p(s)&=b_0+b_1s+b_2s^2\\e_j&=\widehat x_{i+j}-p(jh)\\\min_{\boldsymbol b}\;&\sum_{j=-r}^r e_j^2\\\widehat v_i&=b_1,\quad\widehat a_i=2b_2\end{aligned}
$$

只用以采样点为中心的完整窗口。窗口越宽，真实的快速运动也压得越厉害。

#### 已知偏差累积成漂移

$$
\begin{aligned}\bar v_i&=\tfrac12(\widehat v_i+\widehat v_{i+1})\\\widehat x_{i+1}^{\mathrm{int}}&=\widehat x_i^{\mathrm{int}}+(\bar v_i+\beta_v)h\end{aligned}
$$

这个偏差是事先加进去的，用来演示漂移怎样线性增长，不是从相机行为推断出来的。

### 常见难点

#### 帧数多不一定更好

**容易误解** 只要帧数足够多，数值加速度就精确。

**正确理解** 帧数越多，时间步越小，导数里的像素噪声可能被放大。窗口加宽能压低噪声，却也会抹掉快速运动。帧率不高于给定正弦频率的两倍时可能混叠；帧率高于这个值，也不能保证导数就准。这里不给出置信区间。

### 动手实验

1. 01

   #### 先采集

   采集带噪振荡，打开原始表并导出像素。

   **你会看到：** CSV 里没有真实的导数。

2. 02

   #### 以细节换噪声

   对比三点差分与更宽二次拟合。

   **你会看到：** 噪声小了，快速运动也可能跟着丢掉。

3. 03

   #### 寻找无法区分的样本

   尝试混叠运动与频闪静止。

   **你会看到：** 稀疏帧不能唯一确定连续运动。

4. 04

   #### 检查标定和缺帧

   改变假定比例，添加积分偏差，再尝试离开传感器。

   **你会看到：** 改分析设置不会动原始像素，缺失的帧也不会被补出来。

物理结论

更平滑的估计未必更准确。

## 相关实验与文章

互动物理教材 · 阅读路径

### 运动、力与能量

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **相机怎样测出运动？**](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/measuring-motion-with-a-camera/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)