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title: "运动图像工作台互动实验｜Sandbox Physics"
description: "一条画出的曲线，能决定整个运动吗？画位置曲线可以：斜率就是速度，斜率的变化就是加速度。"
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last_modified: "2026-10-28"
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M001 · 运动学

# 运动图像工作台

**一条画出的曲线，能决定整个运动吗？** 画位置曲线可以：斜率就是速度，斜率的变化就是加速度。画速度曲线只能算出位置变了多少，还得知道从哪里出发；画加速度曲线，连初速度也得另外给。

画出位置、速度或加速度曲线，看三维小车照着运动。带正负号的斜率和面积告诉你小车什么时候掉头，路程和位移又为什么不同。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

运动是为教学预先给定的。曲线怎样插值、测量能说明什么不能说明什么，都明确交代。

物理教程

## 运动图像工作台

**背景** 运动图像同时告诉你两件事：斜率表示变化有多快，曲线下带正负号的面积表示累积了多少。

**为什么值得理解** 三条曲线只要画出一条，再给定初值，另外两条就由斜率和面积确定。让它们和一辆移动的三维小车同步，这些关系就看得见了。

先抓重点

- **核心问题**: 一条画出的曲线，能决定整个运动吗？
- **一句话直觉**: 对图像积分需要初值；横轴下方的面积要算作负值。

### 核心数学模型

#### 速度和加速度都是斜率

$$
v=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt},\qquad a=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}
$$

三条曲线描述的是同一个运动，改了驱动曲线，三条会一起变。

#### 积分需要初值

$$
\begin{aligned}v(t)&=v_0+\int_0^t a(s)\,\mathrm ds\\x(t)&=x_0+\int_0^t v(s)\,\mathrm ds\end{aligned}
$$

反向之后，正负面积可能互相抵消。

#### 路程把回程也算进去

$$
D(t)=\int_0^t|v(s)|\,\mathrm ds\geq|x(t)-x(0)|
$$

速度的零点把每段多项式再分成几段，每段只朝一个方向走。

#### 所选驱动的自然边界

$$
q\in\{x,v,a\},\qquad q^{\prime\prime}(0)=q^{\prime\prime}(T)=0
$$

输入样条的二阶导数连续；自然边界并不意味着速度为零。

### 常见难点

#### 自然样条边界是什么意思

**容易误解** 自然样条边界意味着小车在两端静止。

**正确理解** 位置、速度、加速度三者任选一个作为驱动，七个等时间隔的节点构成它的自然三次样条。只有驱动曲线在两个外端点的二阶导数为零，并不表示小车起止时静止。样条还可能冲过节点值。

### 动手实验

1. 01

   #### 选择驱动

   对比画出位置、匀速运动与恒加速度。

   **你会看到：** 初值只对积分得到的曲线有用。

2. 02

   #### 编辑并反向

   把蓝色节点拖过零，再拖动金色时钟。

   **你会看到：** 速度为负时，小车沿轨道往回走。

3. 03

   #### 区分路程与位移

   选择反向与返回，把时钟拖到末尾。

   **你会看到：** 小车走了一段路，位移却可以回到零。

4. 04

   #### 检查积分

   把精确位置和单独的梯形积分曲线对照。

   **你会看到：** 梯形求和的采样误差如实保留，不会被强行归零。

物理结论

路程说的是小车一共走了多远，位移说的是它最后离起点多远、在哪一边。

## 相关实验与文章

互动物理教材 · 阅读路径

### 运动、力与能量

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **怎样描述一次运动？**](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/describing-motion/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)