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title: "MicroED：旋转、积分与基元拟合互动实验｜Sandbox Physics"
description: "晶体只转过有限角度，衍射能沿哪些方向定出原子位置？只能沿转到的那些方向定。"
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last_modified: "2026-10-27"
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E41 · 连续旋转衍射

# MicroED：旋转、积分与基元拟合

**晶体只转过有限角度，衍射能沿哪些方向定出原子位置？** 只能沿转到的那些方向定。晶体连续旋转，衍射斑一个个扫过探测器，但转角有限，只采到倒空间的一部分，也就是一部分衍射斑。拟合出的原子位置只在采到的方向上可靠，没转到的方向约束很弱。

让晶体连续旋转，同时记录衍射帧。用已知晶胞给斑点标指数，把测到的斑点计数积分，再拟合给定的双原子基元。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

这个教学类比比较弱散射与局部三束近似，不求解蛋白质结构，也不是定量冷冻电镜软件。正交晶胞边长设为 0.5、0.6、0.7 纳米，点散射振幅为 1 和 2，第一个原子固定在原点。斑点按已知晶胞和取向标指数，积分强度只来自测到的帧计数。第二个原子在有限的分数坐标网格上拟合，尺度因子自由。摇摆曲线取高斯形，斑点紧凑、没有拖影，散射强度和形状因子包络都是给定的。可选的多重散射分支在埃瓦尔德球交点耦合入射波、所选反射和一个辅助反射，再乘指定的高斯摇摆包络，用来观察厚度引起的干涉及运动学拟合偏差；它不求整个晶体的完整动力学解。不含束流损伤、冰背景、探测器饱和和相位求解，也不声称达到实测分辨率。传感器边缘外和缺失角度里的数据不会补出来。

物理教程

## MicroED：旋转、积分与基元拟合

**背景** 让晶体连续旋转，同时记录衍射帧。用已知晶胞给斑点标指数，把测到的斑点计数积分，再拟合给定的双原子基元。

**为什么值得理解** 一次旋转只能覆盖倒空间的一部分，覆盖多少，限制了拟合能告诉你哪些原子位置。

先抓重点

- **核心问题**: 晶体只转过有限角度，衍射能沿哪些方向定出原子位置？
- **一句话直觉**: 基元能拟合得多好，取决于实际测到了多少倒空间。

### 核心数学模型

#### 旋转的倒易点阵与埃瓦尔德球相交

$$
\begin{aligned}\mathbf q&=R_y(\theta)\mathbf g\\q_z+\frac{\lambda|\mathbf g|^2}{2}&=0\\(X,Y)&=L\lambda(q_x,q_y)\end{aligned}
$$

倒易格点穿过弯曲的埃瓦尔德球时出现斑点，斑点在相机上的位置按近轴近似计算。传感器大小有限，大角度的斑点会落到外面。

#### 双原子基元的结构因子

$$
\begin{aligned}\phi_{hkl}&=2\pi(hx_2+ky_2+lz_2)\\F_{hkl}&=1+2e^{i\phi_{hkl}}\\|F_{hkl}|^2&=5+4\cos\phi_{hkl}\end{aligned}
$$

第一个原子固定在原点。振幅已知、坐标范围受限，能排除一部分歧义，但反演带来的歧义和相位的限制依然存在。

#### 积分斑点计数并拟合基元

$$
\begin{aligned}M_{hkl}&=\sum_{j,p\in A}C_{j,p}-bN_A\\\widehat I_{hkl}&=M_{hkl}v_{hkl}e^{0.05|\mathbf g|^2}\\(\widehat{\mathbf r}_2,\widehat S)&=\underset{\mathbf r_2,S\ge0}{\arg\min}\\&\quad\sum_{hkl}(\widehat I_{hkl}-S|F_{hkl}|^2)^2\end{aligned}
$$

用已知晶胞标指数，扣除标定好的背景，再校正摇摆斜率和给定包络，最后拟合一个公共尺度。缺失或太弱的反射不参与拟合。

### 常见难点

#### 模型的局限

**容易误解** 任务过关，就等于从实验中解出了真实结构。

**正确理解** 这个教学类比比较弱散射与局部三束近似，不求解蛋白质结构，也不是定量冷冻电镜软件。正交晶胞边长设为 0.5、0.6、0.7 纳米，点散射振幅为 1 和 2，第一个原子固定在原点。斑点按已知晶胞和取向标指数，积分强度只来自测到的帧计数。第二个原子在有限的分数坐标网格上拟合，尺度因子自由。摇摆曲线取高斯形，斑点紧凑、没有拖影，散射强度和形状因子包络都是给定的。可选的多重散射分支在埃瓦尔德球交点耦合入射波、所选反射和一个辅助反射，再乘指定的高斯摇摆包络，用来观察厚度引起的干涉及运动学拟合偏差；它不求整个晶体的完整动力学解。不含束流损伤、冰背景、探测器饱和和相位求解，也不声称达到实测分辨率。传感器边缘外和缺失角度里的数据不会补出来。

### 动手实验

1. 01

   #### 把散射偏差与缺失数据分开

   选择多重散射预设，保持宽旋转范围和高剂量，再切换到运动学散射，重新采集、积分、拟合。

   **你会看到：** 波之间的耦合重新分配反射强度。用运动学模型拟合这组计数，即使角度覆盖很宽，仍会留下系统残差，最佳坐标也会偏移。关掉计数噪声后，偏差依然存在。

2. 02

   #### 规划旋转范围

   设定旋转范围、帧宽、剂量和有效相机长度，再选一个虚构的基元。

   **你会看到：** 相机长度越长，斑点分得越开，但也可能有斑点跑出传感器边缘。

3. 03

   #### 边转边记录

   采集一组旋转序列，再挑选存下的帧来看。

   **你会看到：** 每一帧累加自己那一小段旋转角度里的曝光。旋转范围窄，倒空间就有一部分测不到。

4. 04

   #### 给斑点标指数并积分

   用已知晶胞和角度标定，选好孔径半径，再执行积分。

   **你会看到：** 孔径太小会漏掉斑点尾部。太弱、被裁切、相互重叠或在边缘只露出一部分的反射都会被剔除。

5. 05

   #### 拟合第二个原子

   拟合第二个原子，对比测得强度和拟合强度，再看损失随坐标变化的剖面。

   **你会看到：** 第一个原子、晶胞和散射振幅都是事先给定的，所以这是受限的精修，不是一般意义上的相位求解。

物理结论

拟合只用记录下的计数；模拟采集时用的真实结构不参与拟合。

场、流体与物质 · 入门路径

## 从电场到电子显微镜

先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

[从这里开始 → **看见电场** 在偶极子周围移动探针，看电场是不是总指向电势地形的下坡方向。 观察 · 8 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)

1. [1 看见电场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)
2. [2 电荷在场中转弯](https://sandboxphysics.com/zh/labs/charged-particle/)
3. [3 电子波长与加速电压](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-wavelength/)
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