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title: "机械晶格与色散互动实验｜Sandbox Physics"
description: "波峰与包络速度不同，波包怎样传播？波峰以相速度在包络里穿行，包络连同能量一起以群速度前进。群速度就是频率对波数那条曲线的斜率。链上要是有个质量不同的缺陷，还能把某种振动拴在它附近，不让它传走。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M070 · 质点链上的波

# 机械晶格与色散

**波峰与包络速度不同，波包怎样传播？** 波峰以相速度在包络里穿行，包络连同能量一起以群速度前进。群速度就是频率对波数那条曲线的斜率。链上要是有个质量不同的缺陷，还能把某种振动拴在它附近，不让它传走。

搭一条等质量或两种质量交替的链，发射声学或光学波包，看波峰、包络和能量各自怎么移动。加入一个质量缺陷，激发有限链的本征模，量一量它有多局域。在三维视图里选一个节点，查看它两侧弹簧的力，再回看记录下来的能量和墙面冲量。在数据行点击轨道可以放置波包；有限链模态和无限晶格曲线是分开算的。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

三维装置是示意图：纵向位移按每条记录固定的比例尺画出，与平衡间距的比例无关；质点尺寸和弹簧线圈不用来计算碰撞。颜色表示每个节点当前的局部能量，相对于当前最大值。所有量都用参考质量、最近邻间距和参考刚度归一。质点只沿链的方向运动；下方位移图用竖轴表示位移。墙面固定。无限双原子参考取相同的弹簧和两节点原胞；单个质量缺陷不改变这个参考。高斯波包带宽有限，会被链端截断，也会被墙反射，所以有限链里能量质心的漂移速度不一定等于载波群速度。光学支的群速度可以为负。有限链本征模由对称的质量加权矩阵求出，并显示残差。对这个线性模型，谐波能量分解是精确的。

物理教程

## 离散链中的波包、带隙与缺陷

**背景** 质点用弹簧和相邻质点连在一起，整条链会一起振动，形成集体模态。如果两种质量交替排列，无限长链的频率就分成两支：声学支和光学支。有限长链里只要有一个质量与众不同的“缺陷”，就可能出现一个集中在它附近的局域模态。

**为什么值得理解** MIT 的晶格振动讲义推导了无限长链的声学支和光学支。这里拿这个理论结果，和一条两端固定的有限长链对照。

先抓重点

- **核心问题**: 波包的能量按哪个速度传播？
- **一句话直觉**: 先拿载波处的群速度，也就是色散曲线的斜率，和有限链里能量质心的实际移动比一比；再看缺陷模长什么样，数一数有多少节点参与振动。

### 核心数学模型

#### 每个节点的牛顿第二定律

$$
m_i\ddot u_i=\kappa(u_{i+1}-2u_i+u_{i-1})
$$

两个固定端给链施加冲量、改变它的动量，但不对它做功。

#### 弹簧相同时双原子链的色散关系

$$
\omega_\pm^2=\kappa\left(\frac1{m_A}+\frac1{m_B}\right)\pm\kappa\sqrt{\left(\frac1{m_A}+\frac1{m_B}\right)^2-\frac{4\sin^2q}{m_Am_B}}
$$

相邻节点间距取为一，两个节点组成的原胞长为二。

#### 相速度与群速度

$$
v_p=\omega/q,\qquad v_g=\partial\omega/\partial q
$$

载波处的导数是个参考值，对应无限长链上的窄带波包。

#### 有限链的简正模

$$
M^{-1/2}KM^{-1/2}e_j=\omega_j^2e_j,\qquad e_j^{\mathsf T}e_j=1
$$

显示的残差检查每个算出的模态在多大程度上满足这个矩阵方程。

#### 模态有多局域，能量在哪里

$$
P_j=\left(\sum_i e_{ji}^4\right)^{-1},\qquad \bar s_E=\frac{\sum_i s_iE_i}{\sum_iE_i}
$$

参与数根据质量加权后的模态形状，数出有多少节点参与振动；能量质心跟着局部能量走。

### 常见难点

#### 光学模仍是机械振动

**容易误解** 光学支肯定是在模拟光。

**正确理解** 这个名字来自两套子晶格彼此反向运动；这里两支都是弹簧链的振动。

#### 有限链可以有落在能带外的模态

**容易误解** 有限链的模态频率不可能落在无限链的能带外面。

**正确理解** 缺陷处的局域模不一定在体能带里；查看有限链的本征向量就能看到它。

#### 边界和波包宽度会影响能量漂移

**容易误解** 能量质心总是以群速度移动。

**正确理解** 波包带宽有限，包络会被链端截断，波还会被墙反射，这些都会改变有限链上测到的结果。

### 动手实验

1. 01

   #### 在三维装置里查看一个节点受的力

   暂停，选一个节点检查，并使用精细运动单步。对照青色和金色的两侧键力、紫色合力和加速度读数。

   **你会看到：** 质点只沿链的方向运动；下方的位移曲线只是一张图，质点尺寸和绘图放大倍数都是示意。

2. 02

   #### 跟踪能量和墙面冲量

   打开“能量与墙面冲量”，拖动浏览已采集的记录，再回到“运动与模态”。

   **你会看到：** 完整的能量分解和带符号的数值误差跟着同一个光标；固定的墙和链交换动量，但不做功。

3. 03

   #### 跟踪声学波包

   采集均匀链的记录，查看它的时空图。

   **你会看到：** 包络、波峰和能量质心是三个不同的观测量。

4. 04

   #### 打开带隙

   选择交替质量，改变质量比。

   **你会看到：** 约化区里的两支彼此分开；两种质量相等时，带隙消失。

5. 05

   #### 看光学包络倒着走

   采集光学波包，比较群速度的正负。

   **你会看到：** 包络可以朝着和波峰相反的方向移动。

6. 06

   #### 测量缺陷模

   选择轻缺陷释放，查看本征向量，再换一个选定模态。

   **你会看到：** 高频局域模的参与节点数较少。

物理结论

无限晶格的预测只是参考；波包宽度有限、链长有限，实际运动就可能偏离它。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)