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title: "弹簧振子与周期标定互动实验｜Sandbox Physics"
description: "弹簧上的物体振动，周期由什么决定？周期由质量和弹簧劲度决定，质量变成四倍，周期翻倍。振幅改变不了周期。把弹簧竖着挂，重力只把平衡点往下移，劲度不变，周期也不变。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M061 · 用弹簧计时

# 弹簧振子与周期标定

**弹簧上的物体振动，周期由什么决定？** 周期由质量和弹簧劲度决定，质量变成四倍，周期翻倍。振幅改变不了周期。把弹簧竖着挂，重力只把平衡点往下移，劲度不变，周期也不变。

同一根标定好的弹簧，一次接在无摩擦滑车上，一次竖直挂起重物，都可以从多个角度观察。拖动质量块或者推它一下，记录它沿正方向经过平衡位置的时刻，再把测得的周期和解析值比较。两轴等比例的相空间图会告诉你，振幅和重力到底改变了什么。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型采用质点和无质量的胡克弹簧，没有摩擦。位移从平衡位置算起，轨道上向右为正，悬挂时向下为正。竖直悬挂的机械能把弹簧势能和重力势能合在一起，从平衡位置算起，略去一个常数；能量视图用的也是这两项之和。装置长度按每个实验缩放，画出来的弹簧原长只是参考。线圈形状、质量块大小、轨道和支架都是示意；不考虑弹簧丝的形变、接触限制和碰撞。水平滑车上，重力和轨道的支持力相互抵消。受力箭头自动缩放，速度箭头另有比例，但都来自同一个数值状态。四阶积分同时和解析解、减半步长的结果比较；减半步长带来的变化只是诊断量，不是严格的误差上界。

物理教程

## 把弹簧当作时钟

**背景** 线性弹簧的回复力和伸长量成正比。它的周期很稳定，可以当时钟用：已知质量就能测出刚度，已知弹簧就能测出质量。把水平滑车和竖直悬挂放在一起比，就能直接看出重力改变了什么。

**为什么值得理解** OpenStax《University Physics》第一卷第 15.1 节给出了理想简谐运动的解。本实验把这个精确解和过零计时、相空间图、单独求解的数值轨迹并排摆在一起。

先抓重点

- **核心问题**: 振幅更大、质量更重或重力更强，周期会变吗？
- **一句话直觉**: 先从运动本身测出周期，再和理论值比较。重力只改变竖直弹簧停在哪里，不改变它在平衡位置附近的刚度。

### 核心数学模型

#### 平衡位置和运动方程

$$
\ell_{\mathrm{eq}}-\ell_0=\frac{mg}{k},\qquad m\ddot x+kx=0
$$

重力让竖直弹簧的平衡位置下移，但从平衡位置算起的位移方程不变。悬挂时向下为正，轨道上向右为正。

#### 周期和任意初态下的解

$$
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad T_0=\frac{2\pi}{\omega_0},\quad x(t)=x_0\cos(\omega_0t)+\frac{v_0}{\omega_0}\sin(\omega_0t)
$$

质量和刚度决定周期。在理想线性模型里，振幅和释放相位都不影响周期。

#### 能量与相空间圆

$$
E=\frac12mv^2+\frac12kx^2=\frac12kA^2,\qquad x^2+\left(\frac v{\omega_0}\right)^2=A^2
$$

把速度除以固有角频率，相空间两个坐标就都是长度。两轴比例相同，轨迹就是圆；直接画位置和速度，一般得到椭圆。

#### 从过零时刻测周期

$$
\widehat T=\frac{t_{\uparrow,N}-t_{\uparrow,1}}{N-1},\qquad N\ge2
$$

时钟记录数值轨迹沿正方向穿过零点的时刻，用线性插值定位，从不读取已知周期。质量块静止时没有过零，也就没有实测周期。

#### 竖直悬挂时重力为什么消掉

$$
\Delta U_s=\tfrac12kx^2+mgx,\quad\Delta U_g=-mgx,\quad F_s+mg=-kx
$$

弹簧势能和重力势能都从平衡位置算起，两者的一次项正好相消。弹簧力本身并不是合力。

### 常见难点

#### 振幅不决定周期

**容易误解** 拉得越远，振得越慢。

**正确理解** 质量和刚度不变，比较两个不同的振幅；在线性模型里，两者周期相同。

#### 平衡位置不是原长

**容易误解** 竖直弹簧围绕没拉伸时的长度振动。

**正确理解** 弹簧先被重物拉长一段，弹力和重力平衡。位移要从这个下移后的平衡位置算起。

#### 不动就测不出周期

**容易误解** 就算没有运动，时钟也应该显示理论周期。

**正确理解** 把初始位移和速度都设为零。理论周期仍然有定义，但计时器找不到过零时刻，只会显示静止。

### 动手实验

1. 01

   #### 给水平滑车计时

   先看全景和侧视，再选择“水平滑车”，测量八个周期。

   **你会看到：** 测得的周期接近解析周期，总能量保持不变。

2. 02

   #### 改变质量和释放方式

   把质量加倍，再比较两种释放：拉得更远，或者在平衡位置推它一下。

   **你会看到：** 质量改变周期；振幅和释放相位改变相空间圆的大小或起点。

3. 03

   #### 移动平衡位置

   选择“竖直悬挂”，改变重力；切换能量回看和精细单步，对照同一段运动中的受力。

   **你会看到：** 静态伸长变了，周期和相对平衡位置的能量关系都没变。

4. 04

   #### 检查数值解

   减小最大步长，查看与解析位移的误差，以及步长减半后终点位置变化多少。

   **你会看到：** 实际步长可能已经因为稳定性受到限制；减半检验用的是这个实际步长的一半。

物理结论

相空间里的圆、测得的周期和能量守恒，说的是同一个线性运动。三者对得上，比一段看着像样的动画更有说服力。

入门路径 · 第 5 / 6 步

## 从一次下落到一条轨道

[下一步 → **轨道是怎样形成的** 把发射速度从圆轨道速度逐步提高到逃逸速度，比较记录下的轨迹和预测的圆锥曲线。 迁移 · 10 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)