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title: "共形自举上限：线性泛函排除间隙互动实验｜Sandbox Physics"
description: "一个线性泛函，能否说明不存在间隙这么大的一维自洽理论？间隙够大时可以。"
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last_modified: "2026-10-30"
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FR37 · 共形自举

# 共形自举上限：线性泛函排除间隙

**一个线性泛函，能否说明不存在间隙这么大的一维自洽理论？** 间隙够大时可以。交叉对称要求所有算符加起来抵消单位算符项。如果有一个线性泛函，在间隙以上每个允许的算符上都非负，在单位算符上为正，就不存在自洽的谱。用的导数越多上限越紧，并逼近恰好落在上限上的自由费米子。

给一维交叉方程设一个间隙，搜索在所有允许的块上都非负的线性泛函。找到了，这个间隙就被交叉对称排除。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

直线上四个相同算符的交叉方程可以写成一组向量之和，每个交换算符对应一个向量，分量是交叉对称点处的奇数阶导数。第一阶段单纯形法要么找到加起来等于单位算符项的正权重，要么给出一个对偶泛函：在间隙以上每个采样量纲上非负，在单位算符上为正。正性在更细的网格上检查，并用割平面加细；这是采样点上的数值证据，不是对整个区间的证明。解析极限就是自由费米子第一个算符的量纲，来自 Mazáč（2016）和 Mazáč、Paulos（2018）。

泛函对每个算符的作用

导数越多，上限越紧

更多数值与计算方法

- **每个交叉向量的分量数**: $0$
- **加细后的采样量纲数**: $0$
- **单纯形转轴次数**: $0$
- **泛函最小处，或用到的权重数**: $0$

泛函在单位算符上归一化为 1。证书检查把泛函作用除以泛函和交叉向量的长度；若出现很小的负值，说明采样点之间的正性没有完全成立。

物理教程

## 用一个泛函排除间隙

**背景** 把交叉方程写成向量之和：每个交换算符对应一个向量，权重是 OPE 系数的平方，不能为负；单位算符贡献一个固定向量。自洽的理论必须用自己的算符向量把单位算符项抵消掉。

**为什么值得理解** 假设所有交换算符都在某个间隙之上。如果有一个线性泛函，在所有允许的向量上非负，在单位算符上为正，那么任何正的组合都抵消不了单位算符项，这个间隙就不可能出现。

先抓重点

- **核心问题**: 一个线性泛函，能否说明不存在间隙这么大的一维自洽理论？
- **一句话直觉**: 高于上限时，搜索返回一个分隔泛函；低于上限时，返回能解截断方程的正权重。导数取得越多，上限越往下逼近自由费米子，而自由费米子恰好处在极限上。

### 核心数学模型

#### 交叉向量

$$
\vec F_\Delta=\Bigl(\partial_z^{\,n}\bigl[(1-z)^{2\Delta_\psi}k_\Delta(z)-z^{2\Delta_\psi}k_\Delta(1-z)\bigr]_{z=1/2}\Bigr)_{n=1,3,\dots,\Lambda}
$$

在对称点只有奇数阶导数不为零。$\Lambda$ 决定搜索用多少个分量。

#### 排除条件

$$
\alpha(\vec F_0)>0,\qquad \alpha(\vec F_\Delta)\ge 0\ \ \text{for all}\ \Delta\ge\Delta_{\mathrm{gap}}
$$

把泛函作用到交叉方程上，会得到“一个正数等于零”，这是矛盾。

#### 上限逼近的极限

$$
\Delta_{\mathrm{gap}}\le 2\Delta_\psi+1
$$

Mazáč（2016）以及 Mazáč、Paulos（2018）用解析泛函证明了这个上限；自由费米子的第一个算符正好落在这里。

### 常见难点

#### 网格上为正不等于证明

**容易误解** 泛函在每个采样量纲上都非负，间隙就被严格排除了。

**正确理解** 采样点之间，泛函可能略低于零。实验会加密网格并报告找到的最小值；严格证明需要在整个区间上为正。

### 动手实验

1. 01

   #### 看分隔线

   从“间隙太大：被排除”开始。

   **你会看到：** 所有算符向量都在紫色线的一侧，需要被抵消的向量在另一侧。

2. 02

   #### 降低间隙

   把间隙把手拖到虚线上限以下。

   **你会看到：** 分隔线消失，绿色箭头首尾相接，正好凑出目标向量。

3. 03

   #### 增加导数

   把导数阶数从 3 提高到 21。

   **你会看到：** 上限曲线向自由费米子那条线下降，但从不越过它。

物理结论

自举上限是一个对偶性陈述：要么正的数据能解交叉方程，要么有一个泛函证明它们做不到。

## 相关实验与文章

共形 bootstrap · 阅读路径

### 从临界链到二维上限的拐点

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **一个线性泛函怎样排除一整类谱**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/linear-functionals-and-exclusion/)
2. [文章 **数值 bootstrap 上限证明了什么，没证明什么**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/what-a-bound-proves/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)