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title: "杠杆与力矩谜题互动实验｜Sandbox Physics"
description: "最小的配重能平衡一根挂着载荷的梁吗？能，只要挂在另一侧最长的力臂上。"
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last_modified: "2026-11-03"
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M021 · 刚体静力学

# 杠杆与力矩谜题

**最小的配重能平衡一根挂着载荷的梁吗？** 能，只要挂在另一侧最长的力臂上。算力矩平衡时别漏了梁自身的重量；如果某个支点得往下拉而不是往上顶，这种挂法就不成立。

沿梁拖动载荷，移动铰链，找到最小配重。观察一处支座脱离，再用虚拟传感器扫描估计配重质量。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

梁看作细梁，载荷看作点质量；砝码尺寸和支架只是示意。单铰链时，梁转到理想限位就停止。一处支座脱离后，导向把转轴保持在另一处接触。梁转到二十五度，理想限位吸收剩余动能。

物理教程

## 小配重怎样平衡大载荷

**背景** 梁的两边都挂着载荷，哪边先落下，还要看它们离铰链多远。

**为什么值得理解** 吊车把配重放在后方，就是为了让它有足够长的力臂。铰链偏离梁的中点时，梁自身的重量也会帮着一边转动。

先抓重点

- **核心问题**: 最小的配重能平衡一根挂着载荷的梁吗？
- **一句话直觉**: 在可放置的范围内，把配重放到相反一侧最远的位置，所需质量就最小。

### 核心数学模型

#### 静止时，合力与合力矩都为零

$$
\sum F_y=0,\qquad\sum\tau_p=0
$$

逆时针取正。夹具能提供保持力偶；理想铰链提供力，松开夹具后允许梁转动。

#### 每个载荷都有自己的力臂

$$
\tau_g=-g\left[m_L(x_L-p)+m_R(x_R-p)+m_c(x_c-p)-m_b p\right]
$$

位置从四米长的均匀梁中点量起。梁的重量作用在中点，移动铰链后，它也有了力臂。

#### 反向力臂越长，配重越轻

$$
m_{c,\min}=\frac{|m_L(x_L-p)+m_R(x_R-p)-m_b p|}{|x_{c,\mathrm{opt}}-p|}
$$

先去掉当前配重，算剩余载荷和梁的力矩，再把新配重放到另一侧可到达的最远处。自动解保留完整数值精度。

#### 两个支座怎样分担重量

$$
R_b=Mg\frac{x_C-a}{b-a},\qquad R_a=Mg-R_b,\qquad R_a,R_b\geq0
$$

质心在两个支座之间，它们才能都向上顶。所需反力为负，表示接触会脱开；试验随后绕仍接触的支座转动。

#### 释放后，支撑力随加速度变化

$$
R_x=M a_{C,x},\qquad R_y=M(g+a_{C,y}),\qquad I_p\ddot\phi=\tau_g(\phi)
$$

梁转动时，质心有加速度，支撑力也随之改变。导向只保留一个转轴；转到二十五度，理想限位吸收剩余动能。

#### 从扫描斜率测出配重质量

$$
\widehat m_c=\frac1g\frac{\mathrm d\tau_{\mathrm{hold}}}{\mathrm d x_c}=\frac{b-a}{g}\frac{\mathrm dR_b}{\mathrm d x_c}
$$

测量时先夹住梁。配重移动已知距离，保持力偶或右侧反力的改变量就与它的质量成正比。橙色观测点和拟合线，与理想参考分开显示。

### 常见难点

#### 一样重，也可能不平衡

**容易误解** 把左右质量调成一样就行。

**正确理解** 还得看力臂。较轻的砝码放得远，也能平衡靠近铰链的重物。

#### 铰链与夹具各做什么

**容易误解** 梁没有动，说明两边已经平衡了。

**正确理解** 夹具能把不平衡的梁固定住。松开夹具，才能看到重力矩是否让它转起来。

#### 负反力表示接触脱离

**容易误解** 算出负值，支座就会向下拉梁。

**正确理解** 这里的支座只能向上推。需要向下拉时，梁会离开这个支座，绕另一处接触转动。

### 动手实验

1. 01

   #### 先看哪边落下

   让“力矩谜题”播放一会，再暂停。

   **你会看到：** 右侧质量只大了一些，转动效果还要乘上它离铰链的距离。

2. 02

   #### 直接移动载荷

   沿梁拖动彩色砝码；也可以聚焦手柄，按方向键。

   **你会看到：** 初始重力矩连续改变。移动铰链时，梁自身的力矩也会改变。

3. 03

   #### 找最小配重

   点“放置最小配重”，再从静止释放。

   **你会看到：** 金色配重出现在反向最远的位置，松开的梁仍保持水平。需要的质量超过可调范围时，自动放置按钮会禁用。

4. 04

   #### 让一处支座脱离

   比较“双支座”和“支座脱离”，展开“受力、能量与诊断”。

   **你会看到：** 前者有两个向上的反力；后者在一处需要向下拉，梁于是绕另一处转动。

5. 05

   #### 用传感器测质量

   把“配重质量”调到非零，展开“夹紧并测量配重”，扫描十九个位置。

   **你会看到：** 夹具保持梁水平，虚拟传感器给出一组随位置变化的读数。拟合用这些读数求质量，青色曲线另作理想参考。

6. 06

   #### 看看噪声怎样影响结果

   在“几何、释放与受力显示”中调大传感器噪声，重新扫描并导出观测。

   **你会看到：** 读数散开，拟合质量也会偏移。导出文件含位置和传感器信号，可以独立重做拟合。

物理结论

算平衡要把梁的重量也算进去。支座只能往上顶，某处需要往下拉时，那里的接触就会脱开。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

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