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title: "激光线宽与相位噪声互动实验｜Sandbox Physics"
description: "相位噪声如何变成激光线宽？相位在随机游走，隔得越久，光场越记不住原来的相位，相干性一点点丢掉，频谱就展宽成有宽度的谱线。"
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last_modified: "2026-10-27"
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L30 · 跟随相位，直到频谱出现

# 激光线宽与相位噪声

**相位噪声如何变成激光线宽？** 相位在随机游走，隔得越久，光场越记不住原来的相位，相干性一点点丢掉，频谱就展宽成有宽度的谱线。测出的线形取决于噪声类型、拍频用的参考激光和观测时间，单看一次频谱的最高点说明不了问题。

让激光相位做一次可复现的随机漫步，再看由它算出的拍频谱、频率噪声谱密度和相干性。改变光子寿命、输出功率、技术噪声和观测时长，比较结果。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

这是一个教学模型：单模激光、好腔、振幅固定，只跟踪相位扩散，波长假定为一千零六十四纳米。增益介质理想且完全反转，进入激光模式的自发辐射速率等于光子损耗速率；输出损耗占总损耗的一半。腔内平均光子数由输出功率和光子寿命决定。Lorentzian 半高全宽按 Schawlow–Townes 型约定计算：损耗速率除以四倍圆周率，再除以这个光子数。这种理想标度不是半导体激光、坏腔激光或多模激光的通用公式。模型不含 Henry 线宽增强、不完全反转、非正交模式、振幅噪声和激光热动力学。待测激光和参考各带一份独立的白相位扩散，两者的 Lorentzian 宽度在拍频里相加。额外的技术频率噪声是平稳的 Ornstein–Uhlenbeck 过程，均方根和相关时间给定；每一步的噪声值和它的时间积分按精确的 Gaussian 协方差一起抽样。正弦振动按解析式积分。伪随机 Gaussian 增量用固定种子生成，结果可以复现；这是模拟，不是实测数据，也不逐个模拟自发辐射光子。理想相干光学混频器以每秒一百万个样本记录两个正交分量，标称拍频为正的五十千赫。模型里的相位展开是完美的，不模拟真实接收器的相位滑移、散粒噪声和抗混叠电路。光学谱对采集到的复数样本加 Hann 窗。单边频率噪声 PSD 把相位增量分成四段互不重叠、去掉均值的 Hann 窗再平均，所以频率格点间距粗四倍。所有诊断都来自同一段冻结的记录。对称半功率谱宽是在这段有限记录上量出来的，不是 Lorentzian 半高全宽拟合。场相干性是有限记录上的延迟平均，长延迟处统计不确定性仍然较大。绿色相干曲线是单独的参考，只含白噪声。连续频率噪声参考包含平稳相关噪声，但不含振动谱线和有限采样效应，只能在远低于 Nyquist 频率处比较。改变观测时长会改变分辨率和统计起伏；源参数完全相同，不同的噪声实现也会不一样。空间布局和光的颜色都是示意。

激光基础 · 光、增益与反馈

[L01 · 比较光源](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-source-comparison/) [L02 · 计数跃迁](https://sandboxphysics.com/zh/labs/light-matter-transitions/) [L03 · 构建反转](https://sandboxphysics.com/zh/labs/population-inversion/) [L04 · 单程放大](https://sandboxphysics.com/zh/labs/single-pass-amplifier/) [L05 · 加入反馈](https://sandboxphysics.com/zh/labs/passive-optical-resonator/) [L06 · 从噪声启动](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-noise-startup/) [L07 · 搭建与排故](https://sandboxphysics.com/zh/labs/build-debug-laser/) [L08 · 测量与诊断](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-diagnostic-bench/) [L09 · 选择纵模](https://sandboxphysics.com/zh/labs/gain-longitudinal-modes/) [L10 · 约束光束](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stable-resonator-geometry/) [L11 · 选择空间模式](https://sandboxphysics.com/zh/labs/transverse-laser-modes/) [L12 · 传播与测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/gaussian-beam-quality/) [L13 · 对准与匹配](https://sandboxphysics.com/zh/labs/alignment-mode-matching/) [L14 · 优化提取](https://sandboxphysics.com/zh/labs/output-coupler-optimization/) [L15 · 驱动动力学](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-dynamics-relaxation/) [L16 · 储存与释放](https://sandboxphysics.com/zh/labs/q-switched-giant-pulse/) [L17 · 锁相成脉冲](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mode-locking-frequency-comb/) [L18 · 标定频率梳](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-frequency-comb/) [L19 · 注入载流子](https://sandboxphysics.com/zh/labs/semiconductor-laser-diode/) [L20 · 比较增益介质](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-medium-zoo/) [L21 · 分布式增益](https://sandboxphysics.com/zh/labs/fiber-fbg-laser/) [L22 · 选择反馈](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-feedback-architectures/) [L23 · 平衡超快脉冲](https://sandboxphysics.com/zh/labs/ti-sapphire-oscillator/) [L24 · 展宽与压缩](https://sandboxphysics.com/zh/labs/chirped-pulse-amplification/) [L25 · 捕获与提取](https://sandboxphysics.com/zh/labs/regenerative-multipass-amplifier/) [L26 · 转换频率](https://sandboxphysics.com/zh/labs/nonlinear-frequency-conversion/) [L27 · 散射与级联](https://sandboxphysics.com/zh/labs/raman-brillouin-lasers/) [L28 · 同步从激光](https://sandboxphysics.com/zh/labs/injection-locking/) [L29 · 锁定到参考腔](https://sandboxphysics.com/zh/labs/pdh-frequency-lock/) [L30 · 测量相位噪声](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-linewidth-phase-noise/) [L31 · 散射形成反馈](https://sandboxphysics.com/zh/labs/random-laser/) [L32 · 诊断热扩展](https://sandboxphysics.com/zh/labs/thermal-lensing/) [L33 · 合并相干光场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-beam-combining/) [L34 · 维持 Kerr 脉冲](https://sandboxphysics.com/zh/labs/microresonator-kerr-comb/) [L35 · 返回延迟光场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/external-feedback-chaos/) [L36 · 扫描而不跳模](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tunable-laser-scan/)

物理依据： [MIT：相干与光谱](https://ocw.mit.edu/courses/res-6-006-video-demonstrations-in-lasers-and-optics-spring-2008/resources/coherence-length-and-source-spectrum/) · [速率方程](https://ocw.mit.edu/courses/6-977-ultrafast-optics-spring-2005/resources/chapter2/) · [泵浦与增益介质（7.2 节）](https://ocw.mit.edu/courses/6-974-fundamentals-of-photonics-quantum-electronics-spring-2006/bf3bdeb971819ddc9c68719d28bb2745_classnotes.pdf) · [激光动力学](https://ocw.mit.edu/courses/6-977-ultrafast-optics-spring-2005/resources/chapter4/)

物理教程

## 频谱线是相位的记忆

**背景** 就算振幅不变，自发辐射和技术性的频率抖动也会不断改变激光的相位。

**为什么值得理解** 同一段模拟 I/Q 记录看两遍：在时域里看相位怎样漫游，在频域里看频谱。

先抓重点

- **核心问题**: 相位噪声如何变成激光线宽？
- **一句话直觉**: 谱线什么形状，要看噪声属于哪一类、参考激光怎样、观测了多久；只看 FFT 最高的那一格说明不了问题。

### 核心数学模型

#### 理想量子极限线宽

$$
\begin{aligned}\bar n&=\frac{P_{\rm out}\tau_p}{\eta_{\rm out}h\nu}\\\Delta\nu_q&=\frac{1}{4\pi\bar n\tau_p}\\\eta_{\rm out}&=\frac12\end{aligned}
$$

这里假设增益介质理想：每过一个光子寿命，自发辐射就往激光模式里补进一个光子。前面的系数依赖这些假设，并不适用于所有激光器。

#### 相位扩散与拍频线宽

$$
\begin{aligned}d\phi&=2\pi f_b\,dt+\sqrt{2D}\,dW\\D&=\pi\Delta\nu_w\\\Delta\nu_b&=\Delta\nu_l+\Delta\nu_r\end{aligned}
$$

激光和参考各有一份独立的白相位噪声，两者的线宽在拍频里相加。

#### 带相关时间的技术噪声

$$
\begin{aligned}dX&=-\frac{X}{\tau_c}\,dt+\sqrt{\frac{2\sigma_f^2}{\tau_c}}\,dW\\\langle X(t)X(t+\tau)\rangle&=\sigma_f^2e^{-|\tau|/\tau_c}\end{aligned}
$$

这种频率噪声是平稳的，前后大约在一个相关时间内彼此相关。模型把噪声和它积累出的相位一起推进，所有频谱都来自同一段记录。

#### 白噪声与有色噪声的谱密度

$$
\begin{aligned}S_{\nu,w}(f)&=\Delta\nu_b/\pi\\S_{\nu,c}(f)&=\frac{4\sigma_f^2\tau_c}{1+(2\pi f\tau_c)^2}\\S_\nu&=S_{\nu,w}+S_{\nu,c}\end{aligned}
$$

绿色曲线是单边连续参考，不含振动谱线和采样效应。实测 PSD 由记录下来的相位增量算出。

#### 相位扩散决定相干性

$$
\begin{aligned}|g^{(1)}(\tau)|&=e^{-\pi\Delta\nu_b|\tau|}\\\tau_{\rm coh}&=1/(\pi\Delta\nu_b)\end{aligned}
$$

这条指数曲线是只有白噪声时的系综平均。从一段有限记录按延迟平均出来的相干性，可能偏离这条曲线。

#### 记录信号的频谱

$$
\begin{aligned}z_n&=e^{i\phi_n}\\S_z(f)&\propto|\operatorname{DFT}(w_nz_n)|^2\\\delta f_{\rm opt}&=1/(N\Delta t)\\\delta f_{\rm noise}&=4\delta f_{\rm opt}\end{aligned}
$$

光学谱对整段记录加一个 Hann 窗；频率噪声 PSD 把四段较短的窗平均。半功率谱宽直接在频谱上量出，不是拟合的半高全宽。

### 常见难点

#### 一个线宽描述所有噪声

**容易误解** 每条宽谱线都是 Lorentzian，最高那一格附近的宽度就是激光的本征线宽。

**正确理解** 有色噪声和振动会改变谱线形状。报一个宽度之前，先讲清楚观测了多久、用的是哪种宽度。

#### 拍频只测待测激光

**容易误解** 读拍频时，可以不管参考激光的噪声。

**正确理解** 两台独立激光的白噪声线宽在拍频里相加。除非确知参考很安静，拍频没法单独给出任何一台的线宽。

### 动手实验

1. 01

   #### 改变功率和光子寿命

   用同一个种子，分别采集“理想量子缩放”“更高功率”“更短光子寿命”三个预设。

   **你会看到：** 功率越高，理想相位扩散越慢；光子寿命越短，扩散越快。

2. 02

   #### 加入技术噪声

   采集“相关漂移”“振动边带”“有噪声参考”三个预设。

   **你会看到：** 三种噪声留下的痕迹不同：漂移让相位慢慢漫游，振动带来分立的边带，有噪声的参考把拍频展宽。

3. 03

   #### 改变记录长度

   先比较短记录和长记录，再点“更换噪声实现”。

   **你会看到：** 表观谱宽随频率分辨率变化，每换一次随机实现也会有起伏。

物理结论

把理想白噪声的半高全宽，和记录里实际测到的噪声谱密度、相干性、有限记录的半功率谱宽放在一起比。

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)