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title: "Landau–Zener 扫掠与双程干涉互动实验｜Sandbox Physics"
description: "慢慢扫过避免交叉，两能级系统会换到另一个态吗？会，只要扫得够慢。"
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last_modified: "2026-10-27"
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Q022 · 避免交叉 / 干涉

# Landau–Zener 扫掠与双程干涉

**慢慢扫过避免交叉，两能级系统会换到另一个态吗？** 会，只要扫得够慢。态一直待在较低的能量分支上，穿过避免交叉时，这条分支从一个基态变成了另一个。扫得太快，态还留在原来的基态。再穿越一次，就能看到干涉。

让双能级系统扫过避免交叉，分别在能量基和固定基里看它的量子态，再原路扫回来。改变两次扫掠之间的等待时间，同一个有限时间演化就会给出干涉。测量许多次独立制备的试验，把计数和模型对照。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型是无量纲的双能级 Hamiltonian，在有限的起点和终点之间扫掠，可以加入固定基下的 Markov 退相干。密度矩阵用数值方法演化，包括往返两次扫掠和中间的等待。无限长扫掠的指数公式只作单独参考，而且只适用于从低能态出发、没有噪声的单程扫掠。

记录的证据与模型局限

独立模拟试次

## 统计量子态最后落在高能级的次数

蓝点和逐点 95% Wilson 区间来自记录的试次，灰线是有限时间模型。这些区间不是同时置信带；看着数据决定何时停止时，它们也不再有保证。预览和回放不会增加试次。

当前设置：比例 / 95% 范围

$\text{—}$

适用时的无限扫掠参考

$\text{—}$

演化步数 / 记录试次

$\text{—}$

端点有限、初态选择和退相干，都可能让无限扫掠参考不再适用。往返协议连同中间的等待都完整演化。即使预览显示的是固定基，探测器测量的仍是最终能量基。

物理教程

## 跟随避免交叉

**背景** 没有耦合时，两个能级会随失谐变化而交叉。耦合在它们之间打开一个能隙。扫掠过程中，能量本征态在转动，固定的测量基却不动。

**为什么值得理解** 扫掠速度决定结果。慢扫时，量子态跟着一个能级走；扫得快一些，它会分成两个相干分量，返程时再合到一起。

先抓重点

- **核心问题**: 一直留在低能态，是不是就一直处在同一个固定基态？
- **一句话直觉**: 绝热地跟着能级走的量子态，固定基成分可以互换。第二次穿越能读出两次穿越之间积累的相对相位。

### 核心数学模型

#### Hamiltonian 与单位

$$
\frac{H}{E_0}=\frac{\Delta\sigma_x+\epsilon(\tau)\sigma_z}{2},\qquad \tau=E_0t/\hbar
$$

能量以选定的能量尺度为单位，时间以对应的逆角频率为单位。固定零态的 Pauli-z 本征值为正。耦合和失谐的符号都由这个式子定下来。

#### 能量态与有限扫掠

$$
E_\pm/E_0=\pm\tfrac12\sqrt{\Delta^2+\epsilon^2},\qquad \epsilon(\tau)=-A+v\tau
$$

正向扫掠停在正失谐端点。往返协议在那里等一段时间，再以同样的速度扫回去。初始的低能态或高能态，按实际的有限起点来定义。

#### 最终探测器测什么

$$
P_+=\frac{1+\boldsymbol r\cdot\boldsymbol n_f}{2},\qquad P_0=\frac{1+r_z}{2}
$$

最终探测器投影到高能本征态。蓝色的固定零态布居是另一个可观测量。两条曲线都不是粒子的路径。

#### 无限长扫掠的参考公式

$$
P_{\mathrm{LZ}}=\exp\!\left(-\frac{\pi\Delta^2}{2v}\right)
$$

这条公式假定线性扫掠从负无穷一直到正无穷，从低能态出发，没有退相干。有限时间的轨迹和往返条纹都不是用它算的。

#### 退相干模型

$$
\dot\rho=-i[H/E_0,\rho]+\frac{\gamma}{2}(\sigma_z\rho\sigma_z-\rho)
$$

Markov 纯退相干在固定基下起作用，扫掠和等待期间一直存在。每个数值步先做精确的半步退相干，再做中点幺正步，最后再做半步退相干。不考虑弛豫、浴频谱和材料标定。

#### 从计数到比例

$$
\widehat P_+(s)=\frac{n_+(s)}{N(s)}
$$

每个结果都来自一次新的制备，并走完该扫描设置下的完整脉冲。每个点的 Wilson 区间描述这个模型下的 Bernoulli 不确定性；这些区间连起来，并不是整条扫描的联合置信带。

### 常见难点

#### 把两种基搞混

**容易误解** 扫得慢，量子态就不会变。

**正确理解** 量子态一直是同一个能量本征态，但 Hamiltonian 在变，这个本征态的固定基成分也跟着变。

#### 两次穿越不是两次抛硬币

**容易误解** 两次穿越就是两次独立抛硬币，概率直接相乘。

**正确理解** 两个振幅保持相干，相对相位一直保留着。模拟在整个协议中都带着这种相干性。

#### 公式只是参考

**容易误解** 指数公式应该和每个有限脉冲都完全吻合。

**正确理解** 公式对端点、初态和噪声的假设都和实际设置不同。灰色的有限时间曲线用的是实际设定的演化。

### 动手实验

1. 01

   #### 慢慢跟随

   选择慢扫，回放到终点，看两条布居曲线。

   **你会看到：** 高能态布居一直很小，固定基成分却互换了。

2. 02

   #### 快速穿过

   选择快扫，再采集一组不同扫速的数据。

   **你会看到：** 扫得越快，量子态越多地保留原来的固定基成分，最后就落在高能态。

3. 03

   #### 返回并干涉

   选择往返一次，扫描等待时间，再拖动等待滑块。

   **你会看到：** 等待时间一变，第二次穿越前积累的相位就变，最终计数随之振荡。

4. 04

   #### 检查适用范围

   增大退相干或拉近端点后重测，导出原始记录。

   **你会看到：** 有限时间的结果可能偏离无限扫掠公式；噪声会改变演化本身。

物理结论

用单程公式之前，先看清测的是哪个基、扫掠从哪里开始到哪里结束，以及完整脉冲做了什么。

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)