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title: "Kresling 折纸单元互动实验｜Sandbox Physics"
description: "一个扭转的折纸圆筒，为什么一压就咔嗒合上，而且合上后不再弹开？Kresling 单元是折成斜三角形的纸筒，往下压时它也会扭转，折痕在途中被拉长。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/kresling-origami/"
last_modified: "2026-10-31"
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几何弹性 · 折纸力学

# Kresling 折纸单元

**一个扭转的折纸圆筒，为什么一压就咔嗒合上，而且合上后不再弹开？** Kresling 单元是折成斜三角形的纸筒，往下压时它也会扭转，折痕在途中被拉长。如果单元能到达另一个所有折痕都恢复原长的形状，它就会自己收进这个折叠形状并停在那里；没有这样的形状时，它会弹回原形，或者一直折到上下两板相碰。起始扭转角为直角的单元，最初几乎不抵抗压缩。

Kresling 单元是折成斜三角形的圆筒，往下压时它也会扭转。按下顶板：双稳态单元先抵抗，然后自己收进一个没有折痕被拉长的折叠状态；单稳态单元则弹回原形。静止高度和扭转角与解析给出的第二个状态对照。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

单元采用 Yasuda、Tachi、Lee 与 Yang（Nat. Commun. 8, 962, 2017）的桁架模型：两个外接圆半径 90 mm 的正五边形由十条折痕相连，每条折痕是劲度为 k 的线性弹簧，能量取自他们方法部分的式 1 和式 2，不含校准角。面板不承受任何载荷，画出来只是为了看清折叠。顶板取单位质量、均匀圆盘的转动惯量和黏性阻尼，这些都是本实验的假设，所以时间以质量与 k 之比的平方根为单位；两块板相距 9 mm 时由硬接触挡住；能量随缩短一路下降的单元会停在这个接触上。论文给出的零刚度单元刚度是单稳态和双稳态单元的 0.26% 和 0.18%，本模型给出 0.11% 和 0.080%。论文的第四个原型会发生分岔，这里没有收入：不含校准角时，本模型中它的无扭转分支一直稳定。

越亮能量越高。绿色是能量谷，即每个压缩量下的最低能量；黄色是单元走过的路径，蓝色是你的按压；米色圆圈是解析给出的无应力状态。

更多读数与保存的记录

第二个无应力状态的高度（解析） $49.2\,\mathrm{mm}$

第二个无应力状态的扭转角（解析） $100^{\circ}$

夹具松手时的压缩量 $0.233\,h_{0}$

压入途中的最高储存能量 $0.0221\,k h_{0}^{2}$

扭转被固定时最初受压的刚度 $1.65\,nk$

谷折痕的原长 $150\,\mathrm{mm}$

峰折痕的原长 $186\,\mathrm{mm}$

顶板的阻尼比 $0.1$

JSON 记录包含参数、带夹具力的模拟路径、能量谷，并单独列出解析的第二个状态与刚度以及文献中的原型。

[配套课程：薄结构怎样弯曲、屈曲和突跳](https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/)

物理教程

## 一个折纸圆筒怎么会有两个静止形状？

**背景** Kresling 折法把纸筒折成一圈斜三角形。沿轴向按压时，圆筒一边缩短一边扭转，因此被用在可展开结构、爬行机器人和机械存储单元里。

**为什么值得理解** 每条折痕一开始都处于自然长度，按压单元会拉长其中一些折痕。单元是咔嗒合上还是弹回原形，只取决于几何：是否存在另一个让所有折痕重新回到自然长度的形状？

先抓重点

- **核心问题**: 一个扭转的折纸圆筒，为什么一压就咔嗒合上，而且合上后不再弹开？
- **一句话直觉**: 十条折痕只有两种长度，两个方程确定两个未知量：高度和扭转角。所以单元要么有第二个无应力形状，要么没有。如果有，储存的能量在压入途中先升后降、到那里回到零，单元就咔嗒一声收进去并停住；如果没有，单元会弹回，除非它的能量一路下降到两板相碰。第二个形状与第一个重合的地方，最初的按压几乎不受阻力。

### 核心数学模型

#### 折痕长度与储存能量

$$
a^{2}=H^{2}+4R^{2}\sin^{2}\!\Bigl(\frac{\theta}{2}-\frac{\pi}{2n}\Bigr),\quad b^{2}=H^{2}+4R^{2}\sin^{2}\!\Bigl(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2n}\Bigr),\quad U=\frac{nk}{2}\bigl[(a-a_{0})^{2}+(b-b_{0})^{2}\bigr]
$$

设高度 $H=h_{0}-u$、扭转角 $\theta=\theta_{0}+\varphi$，谷折痕 $a$ 和峰折痕 $b$ 由两个外接圆半径为 $R$ 的多边形确定（Yasuda 等，方法部分式 1 和式 2，不含校准角）。$2n$ 条折痕各是一根劲度为 $k$ 的弹簧。

#### 第二个无应力状态

$$
\varphi_{2}=\pi-2\theta_{0},\qquad H_{2}^{2}=h_{0}^{2}+4R^{2}\Bigl[\sin^{2}\!\Bigl(\frac{\theta_{0}}{2}-\frac{\pi}{2n}\Bigr)-\cos^{2}\!\Bigl(\frac{\theta_{0}}{2}+\frac{\pi}{2n}\Bigr)\Bigr]
$$

由于 $b^{2}-a^{2}=4R^{2}\sin\theta\,\sin(\pi/n)$，两种折痕只有在 $\sin\theta=\sin\theta_{0}$ 时才能同时回到原长，由此得到第二个扭转角；再由 $a=a_{0}$ 得到高度。当 $H_{2}^{2}>0$ 时这个状态存在。对 $h_{0}=150\,\mathrm{mm}$、$\theta_{0}=40^{\circ}$，它在 $H_{2}=49.2\,\mathrm{mm}$、$\varphi_{2}=100^{\circ}$。

#### 最初受压时的刚度

$$
k_{\mathrm{ax}}=nk\,\frac{\bigl(a_{u}b_{\varphi}-a_{\varphi}b_{u}\bigr)^{2}}{a_{\varphi}^{2}+b_{\varphi}^{2}},\qquad k_{\mathrm{ax}}=0\iff\theta_{0}=\frac{\pi}{2}
$$

让扭转角自由放松时，刚度等于能量 Hessian 的行列式除以其扭转分量；下标表示在静止状态处求导。当 $\sin 2\alpha_{0}=\sin 2\beta_{0}$，即 $\theta_{0}=\pi/2$ 时，括号为零，与高度、半径、边数和 $k$ 都无关，和论文的结论一致。此时第二个状态与第一个重合，能量随压缩量的四次方增长。

### 常见难点

#### 没有任何锁扣

**容易误解** 折叠后的单元合着不开，是因为折痕卡住了或摩擦力在撑着。

**正确理解** 这个模型里没有锁扣，也没有摩擦。折叠状态是另一种让所有折痕都处于自然长度的几何，没有剩余的储存能量把单元顶开。

#### 零刚度不等于没有强度

**容易误解** 初始刚度为零的单元会直接塌下去。

**正确理解** 只是力的最初斜率为零。在起点附近，能量随压缩量的四次方而不是平方增长；再往里压，能量迅速上升，所以单元被压进去之后仍能承载。

#### 模型省略了什么

**容易误解** 真实的纸质单元和这个桁架完全一样。

**正确理解** 单元采用 Yasuda、Tachi、Lee 与 Yang（Nat. Commun. 8, 962, 2017）的桁架模型：两个外接圆半径 90 mm 的正五边形由十条折痕相连，每条折痕是劲度为 k 的线性弹簧，能量取自他们方法部分的式 1 和式 2，不含校准角。面板不承受任何载荷，画出来只是为了看清折叠。顶板取单位质量、均匀圆盘的转动惯量和黏性阻尼，这些都是本实验的假设，所以时间以质量与 k 之比的平方根为单位；两块板相距 9 mm 时由硬接触挡住；能量随缩短一路下降的单元会停在这个接触上。论文给出的零刚度单元刚度是单稳态和双稳态单元的 0.26% 和 0.18%，本模型给出 0.11% 和 0.080%。论文的第四个原型会发生分岔，这里没有收入：不含校准角时，本模型中它的无扭转分支一直稳定。

### 动手实验

1. 01

   #### 看单元咔嗒合上

   从“双稳态单元咔嗒合上”开始，看一个完整过程。

   **你会看到：** 夹具缓慢下压，顶板随之扭转。压缩到 $0.233\,h_{0}$ 时，要保持住就得往上拉，于是夹具松手，单元自己收进去，停在 49.2 mm、100° 处，正是解析给出的第二个状态，所有折痕都回到自然长度。

2. 02

   #### 换一个合不住的单元

   选“单稳态单元弹回原形”，高 90 mm，起始扭转角 46°。

   **你会看到：** 夹具一直压到 $0.4\,h_{0}$，单元始终没有自己往里收。松开后弹回 90 mm：不存在第二个无应力形状，所以沿能量谷能量只升不降。

3. 03

   #### 找到柔软的起点

   选“起初几乎没有刚度”，起始扭转角 92°。

   **你会看到：** 最初的按压只遇到 $6.86\times10^{-4}\,nk$ 的刚度，是双稳态单元的 0.080%。第二个无应力状态只比起点高 3.2 mm、相差 4°；起始扭转角为 90° 时两者重合。

4. 04

   #### 把它几乎折平

   选“勉强双稳：几乎折平”，高 145 mm。

   **你会看到：** 高度只少了 5 mm，第二个状态就从 49.2 mm 降到 30.7 mm。单元仍然咔嗒合上并停住，只是扁了许多。

5. 05

   #### 找到第三种结局

   选“一路压扁到底”，高 140 mm，起始扭转角 30°。

   **你会看到：** 这个单元没有第二个无应力形状，却也不弹回。它越短能量越低，于是一路塌到两板相距 9 mm 处相碰，并被压在那里，峰折痕仍被拉长 5.3%。

6. 06

   #### 亲手按压

   把顶板上的黄色把手往下拖，然后松手。

   **你会看到：** 松手太早，单元会弹回去；压过能量谷的最高点，它就自己收进去。你的路径以蓝色画在能量图上。

物理结论

Kresling 单元之所以双稳，是因为它的折痕长度允许第二个无应力形状；把它合住的是这个形状，而不是锁扣。

## 相关实验与文章

几何弹性 · 阅读路径

### 几何弹性：薄结构怎样弯曲、屈曲和突跳

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **把拱一路按下去，直到它突跳**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/pushing-an-arch-until-it-snaps/)
2. [实验 **拱的突跳失稳** 压一道夹紧的拱，直到它突跳](https://sandboxphysics.com/zh/labs/arch-snap-through/)
3. [文章 **Kresling 折纸与它的无应力形状**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/kresling-folds-and-stress-free-states/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)