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title: "Kozai–Lidov 循环互动实验｜Sandbox Physics"
description: "远处一颗伴星，怎样把行星轨道拉长？倾斜的圆轨道伴星能长期扭动低质量行星轨道。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/kozai-lidov-cycles/"
last_modified: "2026-10-28"
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AC09 · 远处伴星改变轨道形状

# Kozai–Lidov 偏心率与倾角循环

**远处一颗伴星，怎样把行星轨道拉长？** 倾斜的圆轨道伴星能长期扭动低质量行星轨道。最简单的慢变近似允许偏心率与互倾角交换，同时保持沿外轨轴的角动量分量。额外进动和快速摄动会改变这场交换。

拖动外轨道倾角，看内轨椭圆伸长、转动。把双平均预测与独立积分的三维牛顿轨迹放在一起比较。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

行星作为无质量测试粒子，中心天体与等质量伴星沿精确圆形 Kepler 轨道运动；直接积分在中心天体坐标系中同时计入伴星引力和中心天体加速度。单位令引力常数、中心质量和初始内轨半长轴都为一。主场景显示双平均四极轨道，已去掉快轨道相位。内外轨道采用明确标出的不同显示比例；伴星标记代表其轨道平面，天体大小为示意。默认直接轨迹由固定版本 REBOUND IAS15 保存，改变参数后采用自适应牛顿积分。可选保守 GR 进动只加在平均预测中，直接参照仍为牛顿模型。近距离遭遇、内轨瞬时变为无界或数值工作越界时停止对应记录。平均模型截断到四极阶，直接牛顿参照保留完整伴星引力；平均 GR 项另设保守弱场边界。不计算耗散潮汐、迁移和有限行星质量，也不据此认定某颗系外行星的唯一形成史。

## 快轨迹与它们的慢平均

琥珀色为保存的直接牛顿积分，青色为单独积分的平均预测；两者从明确给出的同一内轨和伴星几何出发。

回放保存的长期历史 $t/t_K=1.80$

偏心率随时间变化

轨道夹角，单位为度

偏心率与倾角之间的交换

直接积分减去平均预测的偏心率

单位、比较方法与停止条件

直接模型保留完整伴星引力，平均模型还把展开截断到四极阶。教程另加未平均四极控制，分清这两种近似。引力常数、中心质量、伴星质量和初始内轨半长轴都为一，行星无质量，内轨 Kepler 周期为二倍圆周率。长期时间尺度等于半长轴比的三次方。差值图把保存的直接记录线性重采样到平均时间网格；导出中保留原始状态。

$$
j_{\parallel}=\sqrt{1-e^2}\cos i,\qquad t_K=\frac{1}{n_1}\frac{M}{m_2}\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^3
$$

当前四极平均模型保留轴向角动量；圆形受限三体直接运动保留的是旋转 Hamilton 量，行星二体能量会变化。直接距离中心小于0.03或距伴星小于0.2时停止，平均记录在近心距达到 0.03 或引力半径达到近心距百分之一以前停止。停止后的曲线不继续延伸。

物理教程

## 远处伴星怎样让轨道形状与倾角交换？

**背景** 伴星同时吸引行星与中心恒星，两份引力的差别会对内轨施加慢变力矩。

**为什么值得理解** 平均半长轴保持不变，行星仍能靠近恒星。比较快轨迹与慢平均，可以检验这个预测何时开始变差。

先抓重点

- **核心问题**: 内轨椭圆为什么一边拉长，一边转动平面？
- **一句话直觉**: 圆外轨四极平均保留轴向角动量，角动量长度减小时，互倾角也随之改变。

### 核心数学模型

#### 守恒的轴向投影

$$
j_\parallel=\sqrt{1-e^2}\cos i
$$

偏心率和互倾角来自同一条平均轨道；投影守恒适用于圆外轨双平均四极模型。

#### 初始近圆极限的最大值

$$
e_{\max}=\sqrt{1-\frac53\cos^2i_0}
$$

测试粒子近圆四极极限在临界倾角以上出现增长支，控件所示的有限初始偏心率会改变精确峰值。

#### 以中心恒星为原点的直接力

$$
\ddot{\boldsymbol r}=-\frac{\boldsymbol r}{r^3}+\frac{\boldsymbol R-\boldsymbol r}{|\boldsymbol R-\boldsymbol r|^3}-\frac{\boldsymbol R}{R^3}
$$

最后一项扣除中心恒星的加速。即使平均预测加入保守 GR 进动，直接参照仍采用牛顿引力。

### 常见难点

#### 轨道拉长还不等于发生迁移

**容易误解** 近心距变小，半长轴就一定缩短了。

**正确理解** 固定半长轴时，偏心率增大会让近心点向内、远心点向外。迁移方案还需要耗散移走能量。

### 动手实验

1. 01

   #### 预测低倾角分支

   切换低倾角预设前，先预测椭圆会不会显著拉长，再与交换预设比较。

   **你会看到：** 小倾角保留较大的轴向角动量，偏心率只能小幅变化。

2. 02

   #### 只改变外轨平面

   拖动紫色手柄，同时观察偏心率与互倾角，在峰值附近暂停并核对轴向投影。

   **你会看到：** 内轨角动量大小改变时，轨道平面也转动，平均轴向投影保持固定。

3. 03

   #### 检验慢平均

   比较初始倾角相同的宽层级与紧凑预设，再查看教程的瞬时四极对照。

   **你会看到：** 完整力与平均的差别同时包含平均和多极截断，第三个力模型可分别检查。

4. 04

   #### 识别未完成记录

   选择近极轨预设，观察它在内侧边界停止，测周期前先检查实际完成时间。

   **你会看到：** 停止的跃升尚未完成复现，因此不报告完整周期。

物理结论

较大的初始倾角为偏心率跃升留下空间；外轨快运动、更高阶引力与额外进动，需要分别比较。

## 相关实验与文章

慢力矩与轨道偏心率 · 阅读路径

### 慢力矩与轨道偏心率

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **远处伴星怎样把轨道拉长**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/secular-orbits/why-a-distant-companion-stretches-an-orbit/)
2. [文章 **角动量怎样把轨道形状与倾角连起来**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/secular-orbits/angular-momentum-and-slow-torques/)
3. [文章 **从四极势推导偏心率循环**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/secular-orbits/derive-the-quadrupole-cycle/)
4. [文章 **比较轨迹时，分清三种不同的误差**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/secular-orbits/compare-trajectories-and-averaging/)
5. [文章 **从固定笛卡尔轨迹测出一个世俗周期**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/secular-orbits/measure-periods-from-frozen-trajectories/)
6. [文章 **读八极动力学、相对论与一颗行星的可能历史**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/secular-orbits/read-octupole-gr-and-planet-migration/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)