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title: "藏在超导链两端的零模互动实验｜Sandbox Physics"
description: "中间有能隙，两端却亮了。 沿着超导链移动能谱探针，在两端找到接近零能量的谱权重。关闭体能隙，再让端点信号消失。查看有限链的真实本征能级，采集一组理想局域能量记录。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/kitaev-majorana-end-modes/"
last_modified: "2026-10-18"
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KITAEV 链 / 局域能谱扫描

# 藏在超导链两端的零模

沿着超导链移动能谱探针，在两端找到接近零能量的谱权重。关闭体能隙，再让端点信号消失。查看有限链的真实本征能级，采集一组理想局域能量记录。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

开边界、给定配对的理想无自旋 p 波 Kitaev 链。局域零能峰本身不能确认真实材料中的 Majorana 模式。这里不模拟编织、量子比特操作、无序、相互作用或实验鉴定；能谱采用明确的 Lorentz 展宽。

一根量子链的能谱肖像

最小激发能量

$0$

探针位于金色标记

$0$

青色 · 电子 珊瑚色 · 空穴 高度 · 局域谱密度

两条波带对应同一组物理格点，分开仅便于阅读。高度为选定能量下的线性谱密度，增益固定。拖动下方探针条扫描。

移动探针 $j=1$

$0$

01 / 位置与能量

### 找到藏在端点的谱权重。

电子谱密度：横向为位置，能量自底部 −3.5 到顶部 3.5。拖动十字线，同时选择探针和能量。固定平方根色标，范围为每单位跃迁能量 0 到 3。

暗 0 → 亮 3 · 下方曲线使用线性值

02 / 局部观察

### 端点和中间，讲述不同的故事。

青线为探针处电子谱，灰色虚线为中间格点，金线为选定能量。Lorentz 半宽为 0.06，尾部延伸到显示窗口之外。

$E/J\ \longrightarrow\quad J\rho_j(E)$

03 / 有限链

### 别把实际能级藏起来。

每个点都是有限链 BdG 本征值，金色为最接近零的两个，灰色背景为无限链体能隙。有限链激发能不是多体宇称测量。

$n\ \longrightarrow\quad E_n/J$

04 / 独立的体参考

### 关闭能隙，改变相。

无限均匀链的正负解析能带。这是参考，不是局域记录重建的结果。

$k\ \longrightarrow\quad E/J$

让模型产生可检查的记录

## 采集一份局域能谱。

0 / 8000

从探针处归一化电子谱测度理想抽样，并加入 Lorentz 能量分辨率。这是模拟能量记录，不是隧穿电流实测。选定的显示能量不筛选样本。种子固定可复现，CSV 保留全部尾部。

记录中近零能比例

$\text{—}$

95% Wilson 区间 · 采样噪声

$\text{—}$

模型概率

$\text{—}$

全部本征对残差

$\text{—}$

### 金色是记录，青色是模型。

中心窗口为 −0.15 到 0.15。直方图区间为 −3.6 到 3.6，最外两格包含全部溢出。每根柱子都是占全部记录的频率。

最近 20 条记录 · 导出所有试次

| 试次 | 格点 | $E/J$ |
| --- | --- | --- |

模型、单位与来源

实数近邻跃迁、开边界、均匀无自旋 p 波配对，无无序。对完整实对称 BdG 矩阵对角化，所有本征对都进入能谱。展宽是分辨率核，不是拟合寿命。低于跃迁能量百亿分之一的激发能只报告为未分辨。

位置以格距为单位向右增加。能量以跃迁强度为单位，时间以约化普朗克常数除以跃迁强度为单位。波带是诊断表示，两分量之间的距离仅为示意。

$$
H=\begin{pmatrix}h&D\\-D&-h\end{pmatrix},\quad h_{jj}=-\mu,\quad h_{j,j+1}=-J,\quad D_{j,j+1}=-D_{j+1,j}=\Delta_p
$$

实空间矩阵与体色散分别对应有限和无限模型。均匀理想链的拓扑区具有非零配对，化学势绝对值小于两倍跃迁强度。近零谱峰本身不是通用的材料鉴定方法。

来源：Kitaev 原始量子线模型与 Kwant 超导教程中的 BdG 表述。

- [Kitaev · Unpaired Majorana fermions in quantum wires](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0010440)
- [Kwant · Superconductors and electron–hole degrees of freedom](https://kwant-project.org/doc/latest/tutorial/superconductors)

物理教程

## 藏在超导链两端的零模

**背景** 沿着超导链移动能谱探针，在两端找到接近零能量的谱权重。关闭体能隙，再让端点信号消失。查看有限链的真实本征能级，采集一组理想局域能量记录。

**为什么值得理解** 把眼前的变化，与超导系统的能谱联系起来。

先抓重点

- **核心问题**: 中间有能隙，两端却亮了。
- **一句话直觉**: 理想拓扑链的体内有能隙，边界却支持近零能模式。

### 核心数学模型

#### 电子与空穴振幅

$$
i\hbar\partial_t\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=H_{\mathrm{BdG}}\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}
$$

这是准粒子的两个分量，不是独立的物理路径。

#### 无限链能谱

$$
E(k)^2=(\mu+2J\cos k)^2+4\Delta_p^2\sin^2 k
$$

化学势绝对值达到两倍跃迁强度时体能隙关闭；有限链仍有离散能谱。

### 常见难点

#### 尊重模型边界

**容易误解** 任何零偏压峰都证明存在 Majorana 粒子。

**正确理解** 开边界、给定配对的理想无自旋 p 波 Kitaev 链。局域零能峰本身不能确认真实材料中的 Majorana 模式。这里不模拟编织、量子比特操作、无序、相互作用或实验鉴定；能谱采用明确的 Lorentz 展宽。

#### 诊断图不是照片

**容易误解** 隆起的波带是单个粒子的运动路径。

**正确理解** 波带高度编码标明的概率或谱密度，两种颜色使用同一物理格点坐标。

### 动手实验

1. 01

   #### 先做预测

   先比较三个预设，再只改变一个连续参数。

   **应该观察到：** 链变为平庸相时端点峰消失。

2. 02

   #### 检查原因

   把探针从端点移到中间，再扫描能隙附近的能量。

   **应该观察到：** 边界与体内的局域谱权重不同。

3. 03

   #### 采集证据

   累积记录，查看直方图与区间，再导出完整 CSV。

   **应该观察到：** 模型曲线是独立参考，金色直方图只来自实际保存的模拟事件。

物理结论

开边界、给定配对的理想无自旋 p 波 Kitaev 链。局域零能峰本身不能确认真实材料中的 Majorana 模式。这里不模拟编织、量子比特操作、无序、相互作用或实验鉴定；能谱采用明确的 Lorentz 展宽。

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

预测结果、采集计数，从一个量子比特走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再与采集到的计数频率比较。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)