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title: "脉冲转子与 KAM 转变互动实验｜Sandbox Physics"
description: "保持相空间面积不变，能让脉冲转子不出现混沌吗？不能。脉冲转子严格保持相空间面积，照样会出现混沌。踢得超过临界强度，原先把运动圈住的不变曲线就碎了，相邻轨迹迅速分开，转子在动量上可以游走得很远，中间只剩一些规则运动的小岛。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M090 · Hamilton 混沌 / 精确映射

# 脉冲转子与 KAM 转变

**保持相空间面积不变，能让脉冲转子不出现混沌吗？** 不能。脉冲转子严格保持相空间面积，照样会出现混沌。踢得超过临界强度，原先把运动圈住的不变曲线就碎了，相邻轨迹迅速分开，转子在动量上可以游走得很远，中间只剩一些规则运动的小岛。

踢一个自由转子，看不变曲线、共振岛、混沌输运和规则加速岛。拖动相空间里的初始点，对比取模后的环面图和未取模的动量，再看邻近轨道怎样分开、切向怎样增长，以及局部面积是否保持。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

转子按经典力学处理：踢动是理想的瞬时冲击，转动惯量和踢动间隔都取单位值。精确标准映射采用正号的正弦冲量。只有显示时才对动量取模，动力学状态始终保留圆柱上的完整动量。有限的截面无法证明每一条不变曲线是存活还是破坏。近临界情形只是一个参考邻域，不是算出来的转变阈值。模型不含阻尼、有限脉冲宽度和量子局域化。

物理教程

## 规则岛存活于面积保持映射

**背景** 脉冲转子不受平滑的驱动力，只在一个个瞬间挨一下踢；两次踢动之间自由转动，这段漂移按精确解计算。

**为什么值得理解** 同一个保守系统里，KAM 结构、混沌输运和加速岛可以同时存在。

先抓重点

- **核心问题**: 保持相空间面积不变，能让脉冲转子不出现混沌吗？
- **一句话直觉**: 面积守恒、某一点附近稳不稳定、有限次运行的统计结果，回答的是三个不同的问题。

### 核心数学模型

#### 先冲量，再漂移

$$
p_{n+1}=p_n+K\sin\theta_n,\qquad \theta_{n+1}=\theta_n+p_{n+1}\pmod{2\pi}
$$

正弦前的正号来自余弦形式的踢动势，转动惯量和踢动间隔都取单位值。程序内部把角度和动量除以二倍圆周率后存储。每个采样点都取在下一次踢动之前。

#### 面积保持是精确的

$$
DT=\begin{pmatrix}1+K\cos\theta&1\\K\cos\theta&1\end{pmatrix},\qquad \det DT=1
$$

踢动和漂移都是正则剪切。解析切向矩阵另用中心差分独立检验，浮点运算留下的微小差异不会带来物理耗散。面积严格保持，同时照样可以有规则岛，也可以有对初值敏感的轨道。

#### 动量留在圆柱上，不取模

$$
\widetilde p_n=(p_n+\pi)\bmod 2\pi-\pi,\qquad \Delta p_n=p_n-p_0
$$

只有环面截面为了显示才把动量取模。动力学、动能、邻近轨道的距离和输运都用未取模的动量。规则加速岛可以穿过许多个动量单元，局部却一直稳定。

#### 两个固定点，两种稳定性

$$
\operatorname{tr}DT(0,0)=2+K,\qquad \operatorname{tr}DT(\pi,0)=2-K
$$

行列式等于一的矩阵，迹严格介于负二和二之间时是椭圆型。半周固定点在踢动强度为正且小于四时是椭圆型；两个端点是边际情形，要靠非线性分析判断。零角固定点在任何正强度下都是双曲型。一个点稳不稳定，代表不了整个映射。

#### 有限分离会饱和，切向增长还能继续

$$
\lambda_N=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}\log\|DT(z_j)\widehat{\delta z}_j\|,\qquad d_N=\|z_N-z_N^{\rm near}\|_{\rm cylinder}
$$

切向量一开始沿角度方向，每次踢动后重新归一。邻近轨道从不归一。增长图用十进制对数，同时画出有限分离的增益和累计切向增益。解读有限时间指数之前，先延长记录，再换几个初始扰动试试。

#### 做功和输运是两回事

$$
E_n=\frac{p_n^2}{2},\qquad \sigma_p(N)=\sqrt{\frac1M\sum_{j=1}^{M}(p_N^{(j)}-p_0^{(j)})^2}
$$

每次瞬时踢动都和转子交换能量。图谱轨道的动量漂移均方根有自己单独标出的末端踢动数，种子也是确定的。它从每条轨道自己的初始动量算起，不是减去集合均值的方差，也不是测得的扩散系数。有限个样本算不出普适的 KAM 曲线破坏阈值。

### 常见难点

#### 保持面积不等于运动规则

**容易误解** 保持面积的映射不可能出现混沌。

**正确理解** 映射可以把一小块相空间沿一个方向猛拉、沿另一个方向压扁。面积没变，相邻的点却分开了。

#### 动量取模只是显示方式

**容易误解** 轨道在取模图里没跑出去，它的物理动量就是有界的。

**正确理解** 取模只为了显示。规则加速岛在环面上始终挤在一小块，未取模的动量却一直在涨。

#### 短时间的指数说明不了混沌

**容易误解** 只要有限时间指数为正，就证明这条轨道最终是混沌的。

**正确理解** 暂时的剪切或孤立的不稳定点，也能让邻近轨道分开一阵子。应延长记录，再对比截面的结构。

#### 踢动提供能量

**容易误解** 能量变了，说明积分出错了。

**正确理解** 踢动对转子做功，精确映射下能量本来就会变。要检查数值，应该看导数和逆映射。

### 动手实验

1. 01

   #### 寻找规则结构

   比较“自由可积转子”“弱踢动不变曲线”和“稳定共振岛”三个预设。

   **你会看到：** 截面上排列着不变曲线和岛，它们撑起了整体结构。

2. 02

   #### 改变记录长度

   比较“近临界邻域”和“强踢动敏感性”，再点“记录长度翻倍”。

   **你会看到：** 有限记录显示的结果会随长度改变。存活下来的岛，可以和对初值敏感的轨道之海并存。

3. 03

   #### 揭示隐藏输运

   选择“规则加速岛”。

   **你会看到：** 环面上的轨道始终挤在一小块，未取模动量却近乎线性地增长。

4. 04

   #### 试探不稳定固定点

   选择“不稳定固定点”，再拖动橙色初态环。

   **你会看到：** 正好落在固定点上的轨道纹丝不动，切向指数却是正的，邻近轨道纷纷离开。

物理结论

解析不变量、相空间截面和增长诊断要放在一起看，并记住每一种的局限。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)