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title: "干涉表面测量互动实验｜Sandbox Physics"
description: "干涉条纹怎样描出表面的形状，连微小缺陷也看得出？每条条纹都是空气隙的一条等高线，相邻两条高差半个波长。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/interference-surface-metrology/"
last_modified: "2026-10-27"
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光学 044 · 干涉、相干、光腔与精密测量

# 干涉表面测量

**干涉条纹怎样描出表面的形状，连微小缺陷也看得出？** 每条条纹都是空气隙的一条等高线，相邻两条高差半个波长。直条纹等距排开说明表面倾斜，一圈圈的环说明表面弯曲，凹坑会让条纹局部拐弯。单看一张图分不出凸起还是凹坑，要采几帧相移图像，再配一个标定过的参考高度。

空气间隙的剖面展示：精确的球面矢高、倾斜平晶和待测表面上的光滑凹坑，怎样产生单色条纹。再用四帧相移把间隙轮廓反演出来。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型采用正入射标量近似，两束相干反射光强度相同。强度按固定标尺归一化，不是绝对反射率。纵向比例单独放大，支座只是示意，相移理想，基准角点已标定。不考虑噪声，不反演任意缺陷，也不宣称仪器精度。

物理教程

## 检验干涉表面测量的物理过程

**背景** 光在薄空气间隙两侧的表面各反射一次，两束反射光相干叠加。光在间隙里往返一次的相位是 $\phi=4\pi t/\lambda$。一次是玻璃到空气的反射，一次是空气到玻璃的反射，两者符号相反，所以接触点是暗的，不是亮的。三维表面、相机条纹和反演截线都来自同一个间隙函数。

**为什么值得理解** 干涉条纹怎样描出表面的形状，连微小缺陷也看得出？

先抓重点

- **核心问题**: 干涉条纹怎样描出表面的形状，连微小缺陷也看得出？
- **一句话直觉**: 相邻两条同样亮度的条纹，间隙相差 $\Delta t_{\mathrm{fringe}}=\lambda/2$。单张图分不出相差整数个这种台阶的间隙，也分不出凸起和凹坑。四个理想相移能恢复包裹相位；表面平滑、采样够密，再加一个独立标定的角点，才能确定连续的间隙。这些步骤本身不会凭空给出绝对高度。

### 核心数学模型

#### 为什么光学接触点是暗的

$$
\phi=\frac{4\pi t}{\lambda},\qquad I_k=\frac{1-\cos(\phi+k\pi/2)}{2}
$$

强度按两束等强相干回波同相叠加时的固定最大值归一化。负号来自反射反相。四帧分别加了四个独立的参考相移，表面在四帧之间并没有变。模型忽略多次反射和精确的 Fresnel 振幅差，所以不计算绝对反射率。

#### 曲率半径不是样片半径

$$
\begin{aligned}t(r)&=t_0+\frac{r^2}{R+\sqrt{R^2-r^2}}\\r_m^2&=2Rs_m-s_m^2,\quad s_m=m\lambda/2-t_0\end{aligned}
$$

样片始终是 8 毫米见方。曲率半径是米量级，改变它会改变样片真实的球面形状。曲率半径越大，玻璃越平，环越稀。暗环半径按精确矢高计算，不只用小矢高近似。读数列出的第一个非中心暗环，可能被方形视窗切掉一部分。

#### 倾斜平晶把厚度变成尺子

$$
t(x)=t_0+(x+a)\tan\alpha,\qquad\Delta x=\frac{\lambda}{2\tan\alpha}
$$

视窗半宽 4 毫米。倾斜会真的移动参考表面；改变波长只改变条纹，不移动任何表面。倾角为零时，条纹间距无穷大，图像变得均匀。劈角由两端反演出的间隙算出，不是直接取滑块的值。

#### 四张图，一份包裹相位

$$
\phi_w=\operatorname{atan2}(I_1-I_3,I_2-I_0),\qquad\widehat t=\frac{\lambda}{4\pi}\phi_u
$$

空间展开只比较相邻像素，只用四个强度数组、波长和标定好的角点高度。读数给出相邻像素间最大的相位跳变，它必须小于半个周期。在 257 方形网格上，所有控制量取到极值时都满足这个条件。没有角点标定，整体的整数级次仍然未知。模型不模拟噪声、不连续表面和相移误差。

#### 凹坑让条纹弯曲，减去标定平面就能把它分离出来

$$
\begin{aligned}t(x,z)&=t_0+(x+a)\tan\alpha+h(x,z)\\h(x,z)&=d\exp\!\left[-\frac{(x-x_c)^2+z^2}{2\sigma^2}\right]\end{aligned}
$$

待测表面上有一个光滑凹坑，宽 0.85 毫米，中心在视窗中心右侧 0.8 毫米处。深度为正时，空气间隙变大，待测面真的往下凹。减去独立标定的基准间隙和倾斜，剩下的就是反演出的面形偏离；色阶固定，不会自动归一化。峰谷值在有限的采样视窗内计算，不直接等于输入深度。

### 常见难点

#### 环多不等于绝对高度信息多

**容易误解** 拍一张条纹照片，就能唯一确定绝对高度，精度到纳米。

**正确理解** 强度随相位周期重复，正负相位给出同样的强度。已知相移能去掉正负号的歧义，但没有标定，仍定不了整数级次。这里正演和反演在无噪声条件下吻合，检验的是程序实现，不是仪器精度。参考面误差、振动、有限相干性、Fresnel 振幅差和成像分辨率，都需要另外建模。

### 动手实验

1. 01

   #### 场景 1：Newton 环

   从接触状态开始，增大曲率半径：青色面变平，方形样片大小不变，暗环向外移动。

   **你会看到：** 改变波长，测量表面的形状始终不变。

2. 02

   #### 场景 2：空气劈尖

   选择空气劈尖，把倾角降到零。把基准间隙改变半个波长：表面位置变了，强度图样却和原来一样。

   **你会看到：** 两个相差半个波长的间隙，可以给出完全相同的图像。

3. 03

   #### 场景 3：Fizeau 光学平晶检测

   选择平晶凹坑，加大深度，看条纹弯曲。再把倾角归零，体会单张图为什么丢掉正负号。四步反演仍能恢复标定后的截线。

   **你会看到：** 去掉基准间隙后，曲率还在；平面劈尖在减去标定平面后就消失了。

物理结论

面形测量靠的是真实的待测表面、相干相位、四幅强度帧，以及有明确标定点的反演。

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)