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title: "图西双圆与内滚绘线互动实验｜Sandbox Physics"
description: "两个圆周运动，画出一条直线。 两个圆能画出精确直线吗？"
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last_modified: "2026-10-22"
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滚动几何 · 内旋轮线

# 图西双圆与内滚绘线

让圆盘沿固定圆环内侧滚动。移动笔位、改变半径比，看精确直线展开成椭圆、尖角星形与回环曲线。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

指定理想平面无滑动滚动，理想光学描点器投影到架高透明平面。不求受力、摩擦、电机、齿啮合、弹性或接触脱离。

物理教程

## 竖直运动去了哪里？

**背景** 固定在滚圆上的点，同时参与圆心平移与圆盘自转。

**为什么值得理解** 从接触条件理解眼前的曲线。

先抓重点

- **核心问题**: 两个圆周运动能精确抵消一个坐标吗？
- **一句话直觉**: 半径比为二时，两种角速度大小相同、方向相反。轮缘笔的竖直分量抵消，水平分量相加。

### 核心数学模型

#### 圆心与自转

$$
\mathbf C=(R-r)(\cos\theta,\sin\theta),\quad\phi=(1-n)\theta
$$

半径比取正整数，内滚至少为二。自转在固定坐标中计量。

#### 求解后的笔尖轨迹

$$
\mathbf P=\mathbf C+d(\cos\phi,\sin\phi),\quad d=kr,\quad n=R/r
$$

笔尖在滚体上偏置固定，初始半径在两种装置中都指向接触点。

#### 图西的精确抵消

$$
n=2,\quad\mathbf P=((r+d)\cos\theta,(r-d)\sin\theta)
$$

笔位等于滚圆半径时，竖直坐标消失；线段在原点两侧各延伸一个固定圆半径。

#### 无滑动材料点速度

$$
\mathbf v_K=\dot{\mathbf C}+\dot\phi\,\hat{\mathbf z}\times(\mathbf K-\mathbf C)=\mathbf0,\quad\mathbf K=R(\cos\theta,\sin\theta)
$$

接触标记沿轨迹移动，但此处材料点相对于固定圆瞬时静止。

#### 速率缩放

$$
\mathbf v=\omega\frac{d\mathbf P}{d\theta},\quad\mathbf a=\omega^2\frac{d^2\mathbf P}{d\theta^2},\quad T=\frac{2\pi}{\omega}
$$

同一运动学的解析导数生成读数、场景时序、曲线与导出。

### 常见难点

#### 接触位置不是固定材料点

**容易误解** 移动的接触标记一定和滚动表面材料同速。

**正确理解** 不同材料点依次到达标记处。应计算刚体上当时材料点的速度，不能把接触位置序列求导当成材料速度。

#### 此处无滑动是一项假设

**容易误解** 画面证明任意速率都能靠摩擦维持接触。

**正确理解** 圆心轨道与无滑动自转均为指定；接触力、摩擦极限、功率、惯性与脱离需要另建动力学模型。

### 动手实验

1. 01

   #### 跟住接触点

   选择接触视角，缓慢推进公转相位，查看速度分解。

   **应该观察到：** 接触位置前进，但滚体上当时处于接触处的材料点速率为零。

2. 02

   #### 把直线展开

   选择图西直线，保持半径比，把笔位向内移动。

   **应该观察到：** 被抵消的竖直运动重新出现，直线变成椭圆。

3. 03

   #### 先改形状，再改时序

   尝试不同整数半径比，再将指定公转角速率加倍，比较轨迹、速度与加速度。

   **应该观察到：** 只改速率不改轨迹；速度加倍，加速度变四倍，构型仍在公转一圈后闭合。

物理结论

笔位控制尖点与回环，无滑动接触决定自转速率。

几何来源：[Robert Ferréol · Hypotrochoid](https://mathcurve.com/courbes2d.gb/hypotrochoid/hypotrochoid.shtml) · [Epitrochoid](https://mathcurve.com/courbes2d.gb/epitrochoid/epitrochoid.shtml)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)