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title: "暴胀：从量子涨落到宇宙纹理互动实验｜Sandbox Physics"
description: "很早的一个微小涨落，怎样变成今天巨大的结构？暴胀时空间膨胀得极快，场里的量子抖动被拉到任何信号都追不上的尺度。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/inflation-mode-freezing/"
last_modified: "2026-11-14"
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# 暴胀：从量子涨落到宇宙纹理

**很早的一个微小涨落，怎样变成今天巨大的结构？** 暴胀时空间膨胀得极快，场里的量子抖动被拉到任何信号都追不上的尺度。涨落一旦比视界还大，就不再振荡，幅度也固定下来。后来引力把这些冻结的起伏放大，成了微波背景里的冷热斑，再长成星系。

拖动暴胀子势能上的台阶，看量子涨落离开视界后冻结下来，再把算出的谱和 Planck 限制对照。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

单场模型里，每个模式都从量子真空起步逐个积分；台阶按放大比例示意。右图是按算出的谱抽取的一次随机实现，不是天空图。

每个模式离开视界后就冻结

- $k=0.002\,\mathrm{Mpc^{-1}}$
- $k=0.01\,\mathrm{Mpc^{-1}}$
- $k=0.05\,\mathrm{Mpc^{-1}}$

虚线标出离开视界的时刻，白线是当前时间。

原初曲率功率谱

- 逐模式计算
- 去掉台阶的同一势能
- 理想慢滚参考 $H^2/(8\pi^2\epsilon)$
- Planck 2018 幂律拟合，68%

双谱的挤压极限

- $f_{\rm NL}^{\rm sq}(k)=\tfrac{5}{12}\,[1-n_s(k)]$
- Planck 2018 局域模板，68% $-0.9\pm5.1$

这里只计算这一极限。Planck 区间约束的是幅度不随尺度变化的模板。

模型假设与来源

- 单个正则标量场，约化普朗克单位，以 e 倍数 $N=\ln a$ 计时。每个模式在 $k/aH=100$ 时从 de Sitter 的 Bunch–Davies 真空出发，到 $k/aH=10^{-3}$ 时读取。
- 势能整体高度重新标定，使平滑模型在 $k_*=0.05\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 处给出 $\ln(10^{10}A_s)=3.044$；剩下 $N_*$ 个 e 倍时 $k_*=aH$。
- 台阶采用 Adams、Cresswell 与 Easther（2001）的 tanh 形式。台阶高度和“夸大的陡峭台阶”都只作示意，并非拟合结果；Planck 2018 没有发现偏好此类特征的证据。
- 这里只给出双谱的挤压极限。陡峭特征还会产生等边形与振荡形双谱，本 Lab 没有计算。
- 右图在边长 6.3 Gpc 的周期区域里，按计算出的方差抽取独立的 Gaussian Fourier 幅度，波数从 $k=10^{-3}$ 到网格上限。它表现的是两点函数，不是模拟出的天空。

独立对照：幂律暴胀的精确谱、de Sitter 模式函数、正则 Wronskian、步长减半，以及另写的 Python 求解器。

- [Planck Collaboration (2020), Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2](https://arxiv.org/abs/1807.06211)
- [Planck Collaboration (2020), Planck 2018 results. IX. Constraints on primordial non-Gaussianity, arXiv:1905.05697](https://arxiv.org/abs/1905.05697)
- [Adams, Cresswell & Easther (2001), Inflationary perturbations from a potential with a step, arXiv:astro-ph/0102236v2](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0102236)
- [Maldacena (2003), Non-Gaussian features of primordial fluctuations in single field inflationary models, arXiv:astro-ph/0210603v5](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0210603)
- [Creminelli & Zaldarriaga (2004), Single field consistency relation for the 3-point function, arXiv:astro-ph/0407059v2](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0407059)
- [Stewart & Lyth (1993), A more accurate analytic calculation of the spectrum of cosmological perturbations, arXiv:gr-qc/9302019v1](https://arxiv.org/abs/gr-qc/9302019)

## 涨落一旦大过视界，就不再变化

**背景** 暴胀时能量密度几乎不变，空间每过一个 e 倍就放大 e 倍，哈勃长度却几乎不动。一个共动尺寸固定的量子涨落，起先远小于哈勃长度，还在振荡；再过几个 e 倍，它已远大于哈勃长度，曲率幅度也就固定了。

**为什么值得理解** 这些冻结下来的幅度，就是微波背景里测到的种子。每个尺度离开视界时势能有多陡，决定了种子有多强；所以测得的谱能反过来限制势能的形状。

- **核心问题**: 为什么每个涨落只记得自己离开视界的那一刻？
- **一句话直觉**: 视界外曲率模式有一个不变的解，所以谱记录的是每个尺度离开视界时附近的势能。

### 核心数学模型

#### 以 e 倍数为时间的背景演化

$$
H^2=\frac{V}{3-\epsilon},\qquad \epsilon=\frac{\phi'^2}{2},\qquad \phi''=-(3-\epsilon)\,\phi'-\frac{V_{,\phi}}{H^2}
$$

撇号表示对 e 倍数 $N$ 求导，采用约化普朗克单位。当 $\epsilon=1$ 时，暴胀结束。

#### 曲率扰动的一个 Fourier 模式

$$
\mathcal R_k''+\left(3-\epsilon+\frac{2\phi''}{\phi'}\right)\mathcal R_k'+\left(\frac{k}{aH}\right)^{2}\mathcal R_k=0
$$

视界内最后一项占主导，模式振荡且幅度衰减；视界外最后一项可以忽略，只剩下一个常数解。

#### 本 Lab 画出的量

$$
\mathcal P_{\mathcal R}(k)=\frac{k^3}{2\pi^2}\,\lvert\mathcal R_k\rvert^2,\qquad n_s-1=\frac{d\ln\mathcal P_{\mathcal R}}{d\ln k},\qquad f_{\rm NL}^{\rm sq}=\frac{5}{12}\,(1-n_s)
$$

谱在模式冻结后读取。最后一式是单场模型的挤压极限，约定为 $\zeta=\zeta_g+\tfrac35 f_{\rm NL}\zeta_g^2$。

### 常见难点

#### 视界不是一堵墙

**容易误解** 模式在视界处停下，是因为有什么东西挡住了它。

**正确理解** 没有东西挡住它。空间被拉伸，振荡项越来越小，压强梯度再也推不回这个起伏。

#### 一个台阶会影响许多尺度

**容易误解** 势能上的一个台阶，只该改变一个波数。

**正确理解** 场速度的突然变化会扰动仍在视界内的模式，所以更小的尺度上也会留下振荡。

### 动手实验

1. 01

   #### 看一个模式冻结

   让动画播放，同时看舞台下方左边的图。

   **你会看到：** 每条曲线在视界内振荡时下降，越过虚线代表的离开时刻后变平。

2. 02

   #### 拖动台阶

   在势能曲线上把金色手柄上下、左右拖动。

   **你会看到：** 台阶越高，谱上的振荡越大；挪动台阶，振荡的尺度也随之移动。

3. 03

   #### 和 Planck 对照

   依次选择“陡坡与强引力波”和“更短的再加热历史”。

   **你会看到：** 陡坡模型的张量标量比远高于现有上限；主尺度之后 e 倍数变少，谱指数随之降低。

物理结论

原初谱记录了每个尺度离开视界那一刻的势能。

## 相关实验与文章

从量子涨落到宇宙纹理 · 阅读路径

### 离开视界、模式方程与谱的限制

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **一个量子涨落怎样长成宇宙结构**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/how-a-quantum-ripple-becomes-cosmic-structure/)
2. [文章 **被拉伸的涨落离开视界后为什么不再变化**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/why-a-stretched-ripple-stops-changing/)
3. [文章 **推导算出原初谱所用的模式方程**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/slow-roll-and-the-mode-equation/)
4. [文章 **谱指数、张量比和挤压三角形各在测量什么**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/what-tilt-tensors-and-squeezed-triangles-measure/)
5. [文章 **复算一条原初谱，并检验求解器**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/recompute-a-primordial-spectrum/)
6. [文章 **怎样读 Planck 对暴胀特征与非高斯性的搜索**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/read-feature-and-non-gaussianity-searches/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)