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title: "转动惯量设计器互动实验｜Sandbox Physics"
description: "哪些距离决定转动惯量？到所选转轴的距离。每个质量贡献质量乘以距离的平方，珠子挪到两倍远，贡献就变成四倍。转轴离开质心一段距离，还要加上总质量乘以这段距离的平方。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M051 · 转动与质量分布

# 转动惯量设计器

**哪些距离决定转动惯量？** 到所选转轴的距离。每个质量贡献质量乘以距离的平方，珠子挪到两倍远，贡献就变成四倍。转轴离开质心一段距离，还要加上总质量乘以这段距离的平方。

用环形载体和两对对称质点搭一个三维转子。在坐标图里拖动质点的初始位置或轴承，总质量保持不变，再施加标定好的力矩。观察实际轴承、移动的质心和带符号的轴向矢量。惯量分解、角速度和做功同步更新；灰色参考线是同质量、同半径、绕中心轴转动的均匀圆盘。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

转子是水平面内的理想刚体，装在固定轴承上，由纯力偶驱动；每个质点占质点总质量的四分之一。环形载体质量均匀，支撑杆不计质量。改动布局会重新设定初态，不模拟转动中的质量重新分布。恒力矩下的运动按解析解计算，做功和角冲量分别独立检验。

物理教程

## 到转轴的距离，就是设计变量

**背景** 转动惯量把每一份质量，按它到所选转轴垂直距离的平方加权。总质量相同、同样平衡的布局，惯量可以各不相同。

**为什么值得理解** OpenStax《大学物理》10.5、10.7 和 10.8 节把质量分布、力矩和转动做功联系起来；本实验把三者放进同一个可以随手改动的转子。

先抓重点

- **核心问题**: 怎样在总质量与力矩不变时改变角加速度？
- **一句话直觉**: 先定转轴。质点离轴的距离加倍，它对惯量的贡献变成四倍；移动轴承，就多出平行轴项。

### 核心数学模型

#### 对轴承的转动惯量

$$
I=\int r_\perp^2\,\mathrm{d}m=I_{\mathrm{CM}}+Md^2
$$

转子是平衡的，质心在载体中心；轴承偏移从这个中心量起。

#### 均匀环体与成对质点

$$
I_{\mathrm{CM}}=\frac{M(1-f)}2(R^2+R_{\mathrm{hole}}^2)+\frac{Mf}2(r_x^2+r_y^2)
$$

质点总质量平分给四个质点；支撑杆不计质量。

#### 恒定力偶驱动

$$
\dot\omega=\frac\tau I,\qquad\theta(t)=\omega_0t+\frac{\tau t^2}{2I}
$$

试验过程中，质量分布和轴承都不动，变的只有角速度。

#### 分别检验做功和角冲量

$$
\Delta K=\tau\Delta\theta,\qquad\Delta L=\tau t,\qquad K=\frac12I\omega^2
$$

做功和角冲量用的是同一个带符号的力矩，只是一个对转角积分，一个对时间积分。

### 常见难点

#### 质量相同，惯量不同

**容易误解** 转动响应只由总质量决定。

**正确理解** 在相同力矩下，比较质点集中在中间和分布在轮缘两种布局；按距离平方加权后，两者的总和不一样。

#### 必须指定转轴

**容易误解** 一个物体只有一个转动惯量，和转轴无关。

**正确理解** 移动轴承，看多出来的平行轴贡献。

#### 改布局就是重新开始

**容易误解** 播放时拖动质点，角动量会守恒。

**正确理解** 改动布局会让刚体试验重新开始；转子边转边变形，需要另建内力做功的模型。

### 动手实验

1. 01

   #### 设计快速响应

   把质点对移近转轴，然后完成力矩试验。

   **你会看到：** 惯量越小，角加速度越大。

2. 02

   #### 比较轮缘与圆盘

   选择轮缘场景，和圆盘参考曲线对比。

   **你会看到：** 同样的总质量，离转轴越远，加速越慢。

3. 03

   #### 移动轴承

   拖动红色标记，保持质量和力矩不变。

   **你会看到：** 转动惯量里多出一项平行轴项。

4. 04

   #### 制动，然后反转

   设置正的初始角速度和负的力矩。

   **你会看到：** 电机做功先把动能取走；转向反过来以后，再把动能加回去。

物理结论

转动惯量描述的是质量相对某根转轴的分布。轴承固定时，施加纯力矩就能精确比较不同设计。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)