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title: "氢原子轨道与跃迁谱互动实验｜Sandbox Physics"
description: "能量差对得上，为什么有的氢谱线还是不出现？光的能量对上还不够，还得能把两个轨道连起来。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/hydrogen-orbitals-spectra/"
last_modified: "2026-10-27"
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Q011 · 轨道形状、相位与选择定则

# 氢原子轨道与跃迁谱

**能量差对得上，为什么有的氢谱线还是不出现？** 光的能量对上还不够，还得能把两个轨道连起来。偏振探测光只在两轨道间偶极矩阵元不为零时才驱动跃迁；角动量选择定则让一部分跃迁的矩阵元为零，能量再合适，这些谱线也是禁戒的。

制备一个轨道，采样电子出现的位置，再用一束偏振弱探针扫描。两条跃迁能量完全相同，一条允许、一条禁戒，比较它们的结果。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型是非相对论 Coulomb 场中的单个电子；无论核电荷取多少，都用质子的约化质量。位置样本和按量子态选择的弱探针计数都是模拟的。不含精细结构、Lamb 位移、自旋、电离，也没有仪器标定。

02 / 先记录，再解释

## 用一次次“跃迁了没有”的结果拼出光谱。

$\delta E/\mathrm{meV},\quad \widehat P_f$ · 蓝：当前样本；橙：最近一组其他已存样本。拖动选择探测位置。

显示模型预测

$\text{—}$

每一格是当前失谐下最近的一次“是或否”结果。误差线是逐点的百分之九十五 Wilson 区间，没有额外加入读出误差。

03 / 把形状与结果联系起来

## 无论记录多少位置，节点处始终是空的。

$r/\mathrm{nm},\quad \widehat p_r/\mathrm{nm}^{-1}$ · 蓝柱来自独立记录的位置，参考为归一化径向密度。

$\text{—}$

模型视图，与计数数据分开

## 看相位，再检验重叠。

截面平面 $x/\mathrm{nm},\quad z/\mathrm{nm}$

模型相位：青色接近零，橙色接近半个周期，色调随相位变化。亮度取密度与截面最大密度之比的平方根，节点保持暗色。这是模型图，不是探测器图像。

$\text{—}$

$n,\quad E/\mathrm{eV}$

04 / 留下证据

## 把设置和记录一起保存。

最多保存八组固定样本，恢复后可以查看当时的设置。保存之后再采集会新建一组样本。CSV 同时保留零结果和成功探测。

模型边界、单位与来源

每个位置记录都是对一个单独制备的原子做的理想破坏性测量。光谱测量用弱的 Gaussian 频谱包络，并且理想地区分指定末态。无量纲耦合按初态主量子数的平方缩放，页面上的控件都停留在一阶弱激发范围内。简并的磁分量叠加共用同一个径向函数和能量。这里不模拟真实的原子成像或末态选择硬件。

模型为非相对论单电子，使用固定的质子约化质量，波长都取真空值。径向采样延伸到主量子数平方的十六倍（以缩放 Bohr 半径为单位），并报告采样范围外遗漏的概率。不包括精细结构、Lamb 位移和多光子跃迁；偶极禁戒也不意味着这个能态永远稳定。

[Fitzpatrick · Hydrogen](https://farside.ph.utexas.edu/teaching/qm/Quantum/node44.html) · [Electric dipole transitions](https://farside.ph.utexas.edu/teaching/qm/Quantum/node86.html) · [NIST · Hydrogen lines](https://physics.nist.gov/PhysRefData/Handbook/Tables/hydrogentable3.htm)

物理教程

## 氢原子轨道与跃迁谱

**背景** 制备一个轨道，采样电子出现的位置，再用一束偏振弱探针扫描。两条跃迁能量完全相同，一条允许、一条禁戒，比较它们的结果。

**为什么值得理解** 对称性限制了振幅的形式。先测出这种限制带来的结果，再改动一项制备条件。

先抓重点

- **核心问题**: 能量差对得上，为什么有的氢谱线还是不出现？
- **一句话直觉**: 能量对上只是必要条件；这条跃迁出不出现，要看两个波函数通过偏振偶极算符的空间重叠是否为零。

### 核心数学模型

#### 制备出的归一化态

$$
\psi=R_{nl}(r)[\cos\alpha\,Y_l^m+e^{i\phi}\sin\alpha\,Y_l^{-m}]
$$

磁量子数不为零时，两个分量正交，能量相同；磁量子数为零时只用一个球谐函数，混合控件不起作用。

#### Coulomb 场中的能级

$$
E_n=-13.605693\,\frac{\mu}{m_e}\frac{Z^2}{n^2}\,\mathrm{eV}
$$

改变核电荷时，约化质量仍按质子取，所以这些对照只是假想的类氢中心，不对应任何标定过的同位素。

#### 弱探针下的跃迁概率

$$
P_f=A^2\frac{|\langle f|\boldsymbol\epsilon\cdot\mathbf r/a_Z|i\rangle|^2}{n^4}\exp[-\delta E^2/(2\sigma_E^2)]
$$

这是 Gaussian 频谱探针下的一阶跃迁概率。耦合强度随初始主量子数缩放，让所有可选设置都停留在弱激发；这里不模拟饱和的 Rabi 动力学。

### 常见难点

#### 示意图不是轨迹

**容易误解** 点云是一个电子的照片。

**正确理解** 灰点是从模型概率密度里抽出的样本，蓝点是相互独立的理想位置记录。原子核和点云都做了示意性放大。

#### 模型没有包括什么

**容易误解** 数值检查通过了，就等于复现了真实仪器。

**正确理解** 模型是非相对论 Coulomb 场中的单个电子；无论核电荷取多少，都用质子的约化质量。位置样本和按量子态选择的弱探针计数都是模拟的。不含精细结构、Lamb 位移、自旋、电离，也没有仪器标定。

### 动手实验

1. 01

   #### 计数之前先预测

   扫描默认的允许跃迁并保存；再选禁戒跃迁作对照，在同样的能隙上重做一次。

   **你会看到：** 图是空的，就说明还没有证据。参考曲线要自己打开，而且和计数分开显示。

2. 02

   #### 改变一个物理原因

   选相干轨道，旋转它的相位，比较水平偏振光驱动的跃迁。位置要在另外独立制备的副本上采样。

   **你会看到：** 相位一变，密度的角分布和偶极重叠同时改变。位置采样和光谱测量用的是不同的副本。

3. 03

   #### 看看信号消失的情况

   改变偏振，或者选一个轨道角动量禁戒的目标态。一个偶极通道为零，不代表别的跃迁都不存在。

   **你会看到：** 导出原始记录，零结果也包括在内，就能自己复算出显示的估计值。

物理结论

模型是非相对论 Coulomb 场中的单个电子；无论核电荷取多少，都用质子的约化质量。位置样本和按量子态选择的弱探针计数都是模拟的。不含精细结构、Lamb 位移、自旋、电离，也没有仪器标定。

## 相关实验与文章

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1. [文章 **原子谱：定态的证据，不是轨道的照片**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/atomic-spectra-stationary-states/)
2. [实验 **氢—氘同位素位移光谱仪** 测量同位素位移](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hydrogen-deuterium-isotope-spectrometer/)
3. [实验 **双同位素 Doppler 线宽测温仪** 分离热运动与仪器展宽](https://sandboxphysics.com/zh/labs/two-isotope-doppler-thermometer/)
4. [文章 **de Broglie：物质的波长，波包的速度**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/de-broglie-matter-waves-phase-packets/)
5. [实验 **波包传播与不确定性** 看波包怎样移动、怎样展宽](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
6. [文章 **矩阵与波：走向同一组预言的两条路**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/matrix-wave-mechanics-observables/)
7. [文章 **Dirac 电子：成功方程里尚未结束的故事**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/dirac-electron-spin-relativity/)
8. [实验 **Dirac 自由波包的颤动** 看自由 Dirac 波包怎样颤动](https://sandboxphysics.com/zh/labs/dirac-trembling-motion/)
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10. [实验 **自旋耦合与 Zeeman 谱** 对照有效模型给出的自旋谱](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coupled-spin-spectroscopy/)

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1. [文章 **电场怎样把氢原子的谱线分开**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/stark-effect-electric-field-spectra/)
2. [实验 **Stark 电场分裂光谱仪** 改变电场，分开不同偏振的氢谱线](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stark-splitting-spectrometer/)
3. [文章 **少掉的氢原子怎样暴露了 Lamb 位移**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/lamb-shift-microwave-evidence/)
4. [实验 **Lamb 位移微波测量台** 从模拟的存活原子计数找微波共振](https://sandboxphysics.com/zh/labs/lamb-shift-microwave/)

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1. [文章 **Franck–Hertz：下降的电流能证明什么**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/franck-hertz-discrete-excitation/)
2. [实验 **Franck–Hertz 原子激发** 扫描电子碰撞激发](https://sandboxphysics.com/zh/labs/franck-hertz-excitation/)
3. [实验 **光电子发射：反向电流与能量分析** 比较光电发射的能量账](https://sandboxphysics.com/zh/labs/photoemission-analyzer/)

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先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
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