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title: "波前传播 Lab互动实验｜Sandbox Physics"
description: "离孔由近到远，衍射图样怎样变化？是渐变的，中间没有突然切换。"
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last_modified: "2026-10-27"
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光学 056 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

# 波前传播 Lab

**离孔由近到远，衍射图样怎样变化？** 是渐变的，中间没有突然切换。孔径上每一点都发出子波，屏上的场是这些子波的复数和。离得近时，图样还像孔的形状，只是边缘带着波纹；屏幕越移越远，Fresnel 数平滑减小，图样慢慢变成远场的 Fraunhofer 衍射图。

在同一个方孔后面的复场里连续移动探测器。看加权的 Huygens 贡献怎样叠出近场结构，有限窗口里收到多少功率，图样又怎样逐渐趋向 Fraunhofer 极限。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

计算采用单色标量 Fresnel 近似，在精确的方孔区域上积分，用可分离的 96 节点求积。不求解完整的 Maxwell 方程，也不模拟相干性下降和相机噪声。场景沿轴向按对数映射，横向窗口自适应，支架放大显示；细节视图把装置单独拿出来。曝光明确设定，原始功率从不随峰值重新归一化。

物理教程

## 检验波前传播 Lab的物理过程

**背景** 孔上每个被照亮的面元贡献的是复振幅，不是一份正的亮度。探测器记录的是 $I_z=|U_z|^2$。所以即使每个贡献点都被照亮，相消干涉仍能造出暗区。本实验只用一个方孔，让注意力放在传播本身，而不是比较各种孔形。

**为什么值得理解** 离孔由近到远，衍射图样怎样变化？

先抓重点

- **核心问题**: 离孔由近到远，衍射图样怎样变化？
- **一句话直觉**: 以孔的半边长为长度尺度，传播尺度为 $N_F=\frac{(w/2)^2}{\lambda z}$。这个数连续变化。数值小，说明远场近似适用；但它不是开关，图样仍由 Fresnel 计算给出。

### 核心数学模型

#### 每个孔面元都贡献一个复振幅

$$
\begin{aligned}U_z&=\frac{1}{i\lambda z}\iint_\Omega\\&\quad e^{i\pi[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2]/(\lambda z)}\,\mathrm d\xi\,\mathrm d\eta\\I_z/I_0&=|U_z|^2\end{aligned}
$$

孔位于轴向零点，距离沿入射平面波方向为正，横向坐标从孔中心量起。入射振幅取一，波长取真空值，以此归一化。只去掉沿轴的公共载波相位。积分中的坐标都以米为单位。场景里的彩色曲线代表积分中的各项贡献，不是弯曲的几何光线。

#### 方孔：两个一维因子

$$
\begin{aligned}F_z(x)&=\int_{-w/2}^{w/2}e^{i\pi(x-\xi)^2/(\lambda z)}\,\mathrm d\xi\\U_z(x,y)&=\frac{F_z(x)F_z(y)}{i\lambda z}\end{aligned}
$$

在本 Fresnel 模型里，场严格分解为横向因子乘竖向因子。每个因子在真实开口上取 96 个 Gauss–Legendre 节点，权重为不相等的正数。相量多边形只显示横向因子除以孔边长；要得到探测强度，还要乘上竖向因子和传播前因子。多边形只画出 24 项，不会改变探测数据。

#### 远场忽略孔内的二次相位

$$
\begin{aligned}I_{\mathrm{FF}}/I_0&=\left(\frac{w^2}{\lambda z}\right)^2\\&\quad\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{\pi wx}{\lambda z}\right)\\&\quad\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{\pi wy}{\lambda z}\right)\\\operatorname{sinc}(t)&=\sin(t)/t\end{aligned}
$$

金色参考就是这个解析极限，用相同单位、相同观察窗口单独算出。它沿中央轴线的第一个零点，位于波长乘距离再除以孔全边长处。近场图样不一定有这个零点，也不必长得像它。显示的差异是两条中央截线的均方根差，除以两者中较大的峰值；它不是实验误差，也不代表全场精度。

#### 傍轴适用不等于远场

$$
\begin{aligned}N_F&=\frac{(w/2)^2}{\lambda z}\\|\delta\phi_4|&\le\frac{\pi r_{\max}^4}{4\lambda z^3}\\r_{\max}&=\sqrt2(L+w/2)\end{aligned}
$$

相位界读数给出 Fresnel 模型所略去的四阶程差项的上限，按孔到窗口角点的最大距离计算。在近场，Fraunhofer 可能错得很厉害，Fresnel 却仍然适用。孔的尺寸始终有数百个波长，控制范围是有意限定的。模型不求解倏逝波、边缘处的矢量场、遮板厚度，也不计后向辐射。

#### 落到探测窗口外的功率

$$
\begin{aligned}\eta_W&=\frac{\int_{-L}^{L}\int_{-L}^{L}|U_z|^2\,\mathrm dx\,\mathrm dy}{w^2}\\P_{\mathrm{all}}/I_0&=w^2\\B&=\min\!\left(1,\frac{\ln(1+GI/I_0)}{\ln5}\right)\end{aligned}
$$

入射振幅为一时，穿过方孔的功率等于孔面积，这些功率分布在整个观察平面上。有限大小的方形探测器只接住其中一部分，尾部落在窗口外。窗口内的功率由点采样做梯形积分估算。半窗口宽度自动取 0.7 个孔全边长和三个预测远场零点间距中较大的那个。曝光和对数亮度只影响图像，读数保留原始值。截线图用标注了原始数值刻度的对数轴，不是按峰值归一化的强度。

#### 场景坐标与物理距离的对应

$$
\begin{aligned}X_{\mathrm{scene}}(z)&=-240+600\frac{\ln(z/0.04)}{\ln100}\\Z_{\mathrm{scene}}(x)&=140x/L\\Y_{\mathrm{scene}}(y)&=155+140y/L\end{aligned}
$$

场景沿轴和横向用不同尺度，两者都有标注。遮板固定在场景坐标负 320 处，与第一个模拟距离之间留有空隙。孔和探测器共用一个横向尺度，所以同一视图里两者的大小可以直接比较；细节相机只是单独放大它们，不改变模型。沿程图每一行都有自己的横向窗口，横轴不是固定的毫米刻度。播放只是逐步显示贡献，并移动放慢的标记。

### 常见难点

#### 暗处同样收到贡献

**容易误解** 孔上被照亮的点越多，探测器就一定越亮。

**正确理解** 复振幅可以互相抵消。要先把加权后的场加起来，再取模平方。粗糙的等权求和还会让快速振荡的相位混叠，点画得再多也不能证明结果正确。

### 动手实验

1. 01

   #### 场景 1：逐点子波构造

   在子波构造场景中移动探针，观察加权相量多边形。逐步显示部分和，探测数据不会因此改变。

   **你会看到：** 相量互相抵消时，强度下降。只显示部分和只是展示，不是新的采集。

2. 02

   #### 场景 2：Fresnel 近场

   选近场。改变孔边长、移动探测器，把 Fresnel 图样和金色参考对比。

   **你会看到：** 近场波纹连续变化，这时远场近似可能失效。

3. 03

   #### 场景 3：Fraunhofer 远场

   选远场，把探针放在预测的第一个零点附近，调节波长。再改曝光，确认原始强度没有变。

   **你会看到：** Fraunhofer 图样作为极限出现。有限窗口内的功率与图像亮度无关。

物理结论

同一个复场把各点贡献、传播和探测连在一起。几何关系和尺度标注，与发光的图样同样重要。

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