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title: "HRTEM 相位衬度与 CTF互动实验｜Sandbox Physics"
description: "同一批原子，在高分辨电镜像里会从暗点变成亮点吗？会，调一下离焦就可能翻过来。离焦和球差决定了每个空间频率，也就是每种尺度的细节，以正号还是负号传进图像、传得多强。符号一翻，那部分细节就明暗颠倒。没核对衬度传递函数之前，图像再清晰，也不能直接当原子位置图看。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/hrtem-ctf/"
last_modified: "2026-10-27"
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E30 · 电子波成像

# HRTEM 相位衬度与 CTF

**同一批原子，在高分辨电镜像里会从暗点变成亮点吗？** 会，调一下离焦就可能翻过来。离焦和球差决定了每个空间频率，也就是每种尺度的细节，以正号还是负号传进图像、传得多强。符号一翻，那部分细节就明暗颠倒。没核对衬度传递函数之前，图像再清晰，也不能直接当原子位置图看。

对一块缺少一个原子柱的薄晶体调焦：改变失焦、球差和试样倾角，同时观察投影相位和带符号的透镜传递。再显示已知原子柱位置，检查像中的亮点是否真的对应原子。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

这是合成投影势的一阶弱相位模型，不对应任何具体材料。周期视场宽 3.84 nm，原子柱间距 0.32 nm；在整个控制范围内，最大相位都小于 0.24 rad。样品是有限厚度的薄片，高斯柱沿深度均匀延伸。倾转后，电子束沿同一份势积分，原子柱的横向投影拉宽，投影柱间距缩短；薄片关于中面对称，正负倾角给出相同相位。厚度沿薄片法线量取，电压改变相对论相互作用常数。投影近似忽略片内传播、吸收、多重散射、探测器噪声和原子弛豫。负失焦表示欠焦。焦距展宽和照明角展宽都是高斯标准差；空间包络按角度作一阶展开。图像使用固定的 0.7–1.3 线性显示范围。金圈标出已知柱中点，横线表示投影跨度，均为给定的样品参考。中继光路与样品厚度采用示意尺度，光线角度放大 12 倍，试样倾角按实际值绘制。图像由傅里叶相位传递计算。

物理教程

## 亮点是干涉的结果

**背景** 很薄的样品主要改变电子波的相位。探测器测量强度，因此相位变化必须与透射波干涉，才能成为可见的衬度。

**为什么值得理解** 解释高分辨像需要同时知道透镜设置和样品。即使每个原子柱都没移动，衬度也能反转。

先抓重点

- **核心问题**: 同一批原子，在高分辨电镜像里会从暗点变成亮点吗？
- **一句话直觉**: 透镜给每个空间频率乘上一个带符号的传递值：符号为负，这部分像就反转；传递为零，这部分就被抹掉。所以图像再清晰，也不一定直接标出原子位置。

### 核心数学模型

#### 弱相位出射波

$$
\begin{aligned}\psi_{\mathrm{exit}}(\mathbf r)&\simeq1+i\phi(\mathbf r)\\\phi(\mathbf r)&=\sigma V_{\mathrm{proj}}(\mathbf r)\end{aligned}
$$

相位较小且忽略吸收。本实验直接用合成高斯原子柱定义相位，没有拟合某种材料的相互作用常数。

#### 透镜相位与带符号传递

$$
\begin{aligned}\chi(q)&=\pi\lambda\Delta f q^2+\frac{\pi}{2}C_s\lambda^3q^4\\H(q)&=e^{-i\chi(q)}\\T(q)&=A(q)E(q)\sin\chi(q)\end{aligned}
$$

空间频率单位为每纳米的周期数，计算中的长度全部换算为纳米。负失焦表示欠焦；光阑接收截止频率以内的分量。

#### 图像来自同一份相位

$$
\begin{aligned}G(\mathbf q)&=T(q)\mathcal F\{\phi(\mathbf r)\}\\I(\mathbf r)&\simeq1+2\mathcal F^{-1}\{G(\mathbf q)\}\end{aligned}
$$

这是强度的一阶展开，不是完整多层切片波函数的模平方。直流分量保持为一，图像不会自动拉伸衬度。

#### 相干性限制传递

$$
\begin{aligned}E_t&=e^{-\frac12(\pi\lambda q^2\sigma_f)^2}\\W(q)&=\Delta f q+C_s\lambda^2q^3\\E_s&=e^{-\frac12[2\pi\sigma_\alpha W(q)]^2}\\E&=E_tE_s\end{aligned}
$$

焦距和照明角按高斯分布展宽，对相位差取平均。空间包络把透镜相位按照明角作线性展开，因此只是近似。

#### 倾转改变投影样品

$$
\begin{aligned}L_X&=L\cos\theta\\q_X&=q_x/\cos\theta\\\Delta X&=t\sin\theta\\M_{\rm cont}(q_x)&=\frac{\operatorname{sinc}(q_xt\tan\theta)}{\cos\theta}\\\operatorname{sinc}(s)&=\frac{\sin(\pi s)}{\pi s}\end{aligned}
$$

倾转轴沿图像竖直方向，厚度沿薄片法线量取，柱势在深度方向均匀延伸。沿电子束积分后，柱投影沿横向拉宽。公式给出连续势的傅里叶系数倍率，sinc 采用归一化定义，零点值为一。计算沿束路积分周期网格上的线性插值，样品因子读数取自这份离散积分。透镜按缩短后的横向柱间距计算频率，径向传递规律保持不变。

#### Scherzer 聚焦

$$
\Delta f_{\mathrm{Sch}}\simeq-1.2\sqrt{C_s\lambda}
$$

正球差时，这个常规欠焦能把第一个有效传递带展宽。球差为零时它给出零，而精确正焦不会产生一阶相位衬度。

### 常见难点

#### 亮点并不总是原子

**容易误解** 每个亮点都对应原子，与聚焦无关。

**正确理解** 强度来自透镜加上随频率变化的相位之后的干涉。位置标记是另外给出的样品真值，不能用来认定实验中未知的结构。

#### 厚度控制能预测什么

**容易误解** 这里增加厚度就能定量预测厚晶体。

**正确理解** 厚度缩放正入射弱相位，也决定倾转后的投影展宽。这里的柱势沿深度均匀延伸；离散原子层和厚晶体的动力学散射需要其他传播模型。

### 动手实验

1. 01

   #### 先预测，再反转

   选择“暗原子柱”并显示已知位置，再选择“衬度反转”，重新显示位置。

   **你会看到：** 样品相位完全相同。透镜球差已校正，失焦一换符号，带符号的传递和模拟强度就跟着反转。

2. 02

   #### 让晶体看起来消失

   选择“正焦 · 消失”，比较相位图、均方根衬度和探测器。

   **你会看到：** 相位仍然非零，但理想校正透镜精确正焦时，一阶相位衬度为零；这不表示样品消失了。

3. 03

   #### 原子不动，信息仍会丢失

   比较“Scherzer 聚焦”和“相干性下降”，再把物镜截止频率降到原子柱频率以下。

   **你会看到：** 包络压低高频，光阑则直接去掉高频。位置标记照样显示样品真值，单看记录的图像却未必判断得出。

4. 04

   #### 倾转有限厚度的薄片

   选“倾转拉宽原子柱”，再保持厚度和聚焦不变，把试样倾角调回零。比较相位图、强度像和样品因子。

   **你会看到：** 倾转把柱势摊向横向邻近位置，削弱横向晶格分量；竖向分量依然清晰。样品沿深度对称，正负倾角的投影相同，因此单凭这张像判不出倾转符号。

5. 05

   #### 完成目标

   调焦，让柱间距处传递超过 0.85，打开已知位置并核对目标。

   **你会看到：** 你验证了一个频率带的符号；其他频率带可能符号不同，因此整张像比简单的亮暗规则更复杂。

物理结论

指定原子位置前，先检查 CTF 和相干包络。单张图像无法恢复被传递函数压制的频率。

## 相关实验与文章

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### 电子探针：读懂证据

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **Ruska：形成电子图像，只是第一步**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/electron-evidence/ruska-electron-microscope-resolution/)
2. [实验 **电子光学柱** 逐个透镜跟踪成像位置](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-column/)

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## 从电场到电子显微镜

先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

[从这里开始 → **看见电场** 在偶极子周围移动探针，看电场是不是总指向电势地形的下坡方向。 观察 · 8 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)

1. [1 看见电场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)
2. [2 电荷在场中转弯](https://sandboxphysics.com/zh/labs/charged-particle/)
3. [3 电子波长与加速电压](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-wavelength/)
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5. [5 TEM 明场、暗场与选区衍射](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tem-mode-selector/)
6. [6 SEM 二次电子表面形貌](https://sandboxphysics.com/zh/labs/sem-topography/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/fields-and-matter/#starter-path)