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title: "Hopfield 联想记忆互动实验｜Sandbox Physics"
description: "一个网络怎样从残缺线索恢复整幅图案？存入的图案规定单元之间怎样相互影响。线索有缺损时，每个单元听从其他单元的合力，网络能量便逐步降低。它可能找回原图，也可能停在相互竞争的另一个局部极小值上。"
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last_modified: "2026-10-24"
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D-X2 · 从残缺图案找回记忆

# Hopfield 联想记忆

**一个网络怎样从残缺线索恢复整幅图案？** 存入的图案规定单元之间怎样相互影响。线索有缺损时，每个单元听从其他单元的合力，网络能量便逐步降低。它可能找回原图，也可能停在相互竞争的另一个局部极小值上。

把存下来的图案涂乱，让网络一格一格修复。增加相互竞争的记忆，或扰乱大半格子，看它什么时候会停在另一个图案上。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

网络有一百四十四个二值单元，采用对称 Hebb 权重，去掉自耦合，阈值为零。单元按打乱后的顺序逐个更新；局部场为零时保持原样。每次成功更新都会降低网络能量。三个手绘图案彼此相关，全部存入后，原图未必还是精确的不动点。网络还有反色、混合等其他局部极小值；收敛不保证找回指定记忆。回忆过程中不学习，不含热噪声，也不是对生物大脑的拟合。更新速度已经放慢，方便看清每一格的变化。能量曲线是模型诊断，不是电能测量。

这次回忆中的能量下降

权重里存下的图案

重放一次已计算的异步回忆。青色是能量记录，琥珀色标出当前帧。

科学来源

- [Hopfield (1982), Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities](https://doi.org/10.1073/pnas.79.8.2554)
- [The Nobel Prize in Physics 2024](https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2024/summary/)

## 这个想法从哪里来

[Hopfield 网络怎样找回破损的记忆](https://sandboxphysics.com/zh/stories/thermal-complexity/hopfield-energy-memory/) [Boltzmann 机怎样学会图案的规律](https://sandboxphysics.com/zh/stories/thermal-complexity/hinton-boltzmann-learning/) [继续探索热、偶然与集体行为](https://sandboxphysics.com/zh/stories/thermal-complexity/)

物理教程

## 把记忆放在网络的稳定图案里

**背景** 一个熟悉的字缺了几笔，人往往还能认出来。Hopfield 模型问的是：很多只听邻居意见的简单单元，能不能把残缺图案补回来？

**为什么值得理解** 记忆存在单元之间的连接中。没有另一个程序逐格告诉它们，心形或闪电应该画在哪里。

先抓重点

- **核心问题**: 一个网络怎样从残缺线索恢复整幅图案？
- **一句话直觉**: 对称连接让逐个更新的单元沿着能量下降，走向稳定图案。

### 核心数学模型

#### 图案怎样规定连接

$$
w_{ij}=\frac{1}{N}\sum_{\mu=1}^{P}\xi_i^{\mu}\xi_j^{\mu},\qquad w_{ii}=0
$$

每幅存入图案给每个格子一个二值。经常同向的一对单元得到正连接，经常反向的一对得到负连接。最后除以单元总数，固定权重尺度。

#### 一个格子听谁的

$$
s_i\leftarrow\operatorname{sgn}\!\left(\sum_j w_{ij}s_j\right)
$$

每次只更新一个单元，顺序先打乱。其他单元按连接权重给它合力，它就顺着合力选择方向。合力为零时，保持原样。

#### 每次改变都让能量降低

$$
E=-\frac12\sum_{i,j}w_{ij}s_i s_j,\qquad\Delta E=-(s_i^{\mathrm{new}}-s_i^{\mathrm{old}})\sum_j w_{ij}s_j\leq0
$$

权重对称，并且没有自耦合时，允许的单元改变都会降低能量。最后没有哪个单元能靠单独翻转让能量更低，图案便稳定下来。

### 常见难点

#### 稳定下来，仍可能认错

**容易误解** 能量不再下降，就说明已经找回想要的图案。

**正确理解** 能量可以有很多局部极小值。相似记忆会挤占彼此的位置，零阈值模型里的每幅图案还都有一个反色伙伴。

### 动手实验

1. 01

   #### 先看一次修复

   选“修复划坏的心形”，跟着能量曲线上的琥珀色标记看。

   **你会看到：** 能量下降时，残缺格子逐渐改变。已计算的回忆会反复重放，方便看清同一次修复。

2. 02

   #### 换一条线索

   选“找回闪电”，再用手在图案上涂几笔。

   **你会看到：** 松手后，从你画的图案开始新一次回忆。回忆期间，单元之间的连接保持不变。

3. 03

   #### 让记忆相互竞争

   选“相似记忆相互竞争”，看看最后还有多少格不一样。

   **你会看到：** 彼此相关的图案可能把网络拉到另一个稳定状态，和指定的原图仍有差别。

4. 04

   #### 试试反色图案

   选“停在反色记忆”。

   **你会看到：** 颜色相反的图案也可以能量很低、十分稳定。只看能量，分不出你本来想找哪幅图。

物理结论

回忆可以像物理系统的松弛一样发生；走到稳定状态，还得看它记对了没有。

场、流体与物质 · 入门路径

## 从电场到电子显微镜

先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

[从这里开始 → **看见电场** 在偶极子周围移动探针，看电场是不是总指向电势地形的下坡方向。 观察 · 8 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)

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