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title: "Homodyne 量子态重建互动实验｜Sandbox Physics"
description: "能从探测器的噪声，画出一个量子态吗？能，探测器的噪声本身就是数据。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/homodyne-quantum-tomography/"
last_modified: "2026-10-27"
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Q037 · 由测量重建光的量子态

# Homodyne 量子态重建

**能从探测器的噪声，画出一个量子态吗？** 能，探测器的噪声本身就是数据。参考光（本振）每取一个相位，就测到光场一个正交分量的分布，相当于量子态的一个投影。许多投影拼起来，能重建出它的 Wigner 函数，也就是相空间里的一张图。检验这张图，要看它能不能预测重建时没用过的相位。

转动本振相位，沿不同方向测量光场，再只凭这些读数重建 Wigner 函数。最后换一个重建时没用过的相位，看它预测得准不准。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型只有一个光学模式，本振理想且足够强，采用平衡探测，真空方差取二分之一。损耗发生在探测之前。每个读数都是模拟的归一化差分信号。只用有限个角度做滤波反投影，图上会出现波纹和虚假的负值区；这种方法也不保证重建出来的是物理上允许的态。

02 / 探测器说了什么？

## 用新投影，检验旧重建。

显示理想模型

$q_\theta$ · 蓝柱：这个相位的探测记录；橙线：你的重建图在这个相位的投影；虚线：可选的理想模型。滤波后的预测会因波纹出现负值，所以不能当作采样概率；直方图的尾部保留在 CSV 中。

留出读数

$\text{—}$

$\text{—}$

最近记录

03 / 用扫描记录重建

## 让数据画出量子态。

先采集投影。

$(q,p)\in[-5,5]^2$ · 横轴为位置正交分量，纵轴为动量正交分量。蓝正红负，所有样本使用相同色标。

$\text{—}$

24 个采集投影

$\theta:0\to172.5^\circ,\quad q_\theta:-5\to5$ · 相位向右递增，正交分量向上递增；每扫一次，每列重新制备 300 次。

重建带宽$k_c$ $4$

带宽越高，越能分辨细节，但噪声也被放大。改动后，可以用同一组数据重新重建。带宽有限会让图变模糊，角度和计数有限会产生波纹；出现负像素本身并不能证明非经典性。

04 / 把证据留下来

## 保存一个结果，然后只改一项。

最多保存八组样本。恢复后可以查看；再次采集会开始新记录。每条保存的原始记录只导出一次。用同一个种子会重现同样的抽样，不能算独立证据。

物理模型、适用范围与主要来源

$q_\theta=(ae^{-i\theta}+a^\dagger e^{i\theta})/\sqrt2,\quad [q,p]=i$

$V_\theta=\tfrac12[1-\eta+\eta(e^{-2r}\cos^2(\theta-\varphi)+e^{2r}\sin^2(\theta-\varphi))]$

刻度由理想的真空标定确定。记录值是归一化的光电流差，不分别模拟两只二极管的计数。本振取无限强的极限；不考虑电子噪声、饱和、本振强度有限和模式失配。重建不反推损失，描述的是到达探测器的态。

网格为六十一乘六十一，取二十四个等距相位，Fourier ramp 滤波硬截止。滤波投影直接用原始样本，插值步长 0.04。重建图和留出投影都不把负值截掉，也不重新归一化；不会出现负概率事件。

[Lvovsky & Raymer · II A–B, III A 1, V A](https://arxiv.org/abs/quant-ph/0511044)

## 从模型回到证据

重建能预测一个新投影吗？

- **操作**: 扫描二十四个本振相位，完成重建。再在已扫描的相位之间选一个新相位，采集五百次新的探测读数。
- **记录**: 把新采的直方图，和重建结果在这个相位上预测的投影比较。这批探测读数从不参与重建。
- **边界**: 文中做的是偏振比特层析，这里测的是连续变量光场，两者互为补充。Lab 用滤波反投影重建，不用最大似然；重建的是探测到的态，损耗没有反推回去。单凭一块负值区域，不足以构成统计认证。

$$
q_\theta=\frac{ae^{-i\theta}+a^\dagger e^{i\theta}}{\sqrt{2}}
$$

模型来源：[Lvovsky & Raymer · Optical tomography, §§ II–III](https://arxiv.org/abs/quant-ph/0511044)

[从已标定的计数重建光子态](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/photon-tomography-counts-physical-states/)

物理教程

## Homodyne 量子态重建

**背景** 转动本振相位，沿不同方向测量光场，再只凭这些读数重建 Wigner 函数。最后换一个重建时没用过的相位，看它预测得准不准。

**为什么值得理解** 量子态没法一次拍下来，只能在许多份同样制备的光上测量，再推断出来。

先抓重点

- **核心问题**: 能从探测器的噪声，画出一个量子态吗？
- **一句话直觉**: 重建结果要能预测一次它没见过的测量，才算可信。

### 核心数学模型

#### 旋转的正交分量

$$
q_\theta=q\cos\theta+p\sin\theta,\quad [q,p]=i
$$

强本振的相位决定测哪个方向。理想真空的方差是二分之一。

#### Wigner 函数的投影

$$
p_\theta(x)=\int W(x\cos\theta-t\sin\theta,x\sin\theta+t\cos\theta)\,dt
$$

即使 Wigner 函数出现负值，每个投影仍是非负概率密度。

#### 有限带宽的逆 Radon 变换

$$
\widehat W(q,p)=\frac{1}{2\pi M}\sum_{j=1}^M\frac{1}{n_j}\sum_{\ell=1}^{n_j}K_{k_c}(q\cos\theta_j+p\sin\theta_j-x_{j\ell})
$$

核函数只积分到选定的空间频率截止。它只用扫描读数，不知道制备的是哪个态。

### 常见难点

#### 单凭一张图证明不了什么

**容易误解** 重建图里出现负值像素，就说明这是非经典态。

**正确理解** 截止过硬、角度取样有限、数据量有限，都可能带来负值波纹。可以重复采集，改变截止频率再看。本实验不给出非经典性的置信度。

#### 改设置不会改动已存数据

**容易误解** 移动滑块能改善已经记录的数据。

**正确理解** 改变制备会重新开始一组样本；已保存的样本保留原来的设置和原始读数。

### 动手实验

1. 01

   #### 先预测

   分别试真空和压缩真空，先猜转动本振时，正交分量的分布会变宽还是变窄。

   **你会看到：** 先别打开可选的模型参考。

2. 02

   #### 采集并保存

   扫完全部 24 个相位并重建，再在选定的新相位上采集 500 个读数。

   **你会看到：** 新相位上的直方图从不参与重建。

3. 03

   #### 看它在哪里失效

   选单光子并重建，再加入损耗。另做一次：不采新数据，只改重建截止频率。

   **你会看到：** 损耗改变的是态本身；截止频率只改变估计方法；读数有限，还会带来采样噪声。

物理结论

模型只有一个光学模式，本振理想且足够强，采用平衡探测，真空方差取二分之一。损耗发生在探测之前。每个读数都是模拟的归一化差分信号。只用有限个角度做滤波反投影，图上会出现波纹和虚假的负值区；这种方法也不保证重建出来的是物理上允许的态。

## 相关实验与文章

量子物理证据 · 阅读路径

### Bell 检验与光子信息

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **从已标定的计数重建光子态**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/photon-tomography-counts-physical-states/)
2. [实验 **量子态与过程层析** 比较重建单个量子比特的两种办法：直接反演和物理矩阵投影](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-state-process-tomography/)
3. [实验 **Bell 关联与 CHSH** 对照依赖标定的层析和 Bell 检验](https://sandboxphysics.com/zh/labs/bell-chsh/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)