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title: "Hohmann 转移规划器互动实验｜Sandbox Physics"
description: "两次点火能改变轨道，还能遇见移动目标吗？能，但出发时机要卡准。两次理想点火能把飞船沿半个转移椭圆送上目标的轨道。飞船到达时，目标也得正好转到那个位置，否则就会错过。半径、在轨道上的位置、速度，是三个各自独立的到达条件。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M074 · 轨道转移与发射窗口

# Hohmann 转移规划器

**两次点火能改变轨道，还能遇见移动目标吗？** 能，但出发时机要卡准。两次理想点火能把飞船沿半个转移椭圆送上目标的轨道。飞船到达时，目标也得正好转到那个位置，否则就会错过。半径、在轨道上的位置、速度，是三个各自独立的到达条件。

在同一平面的两条圆轨道之间设计转移。微调两次点火、推迟出发、拖动目标圆轨道，比较半径、比能量、到达位置和速度，再看双椭圆方案在燃料和时间上的得失。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型采用理想球形地球、千米—秒单位、瞬时点火和二体引力，不考虑大气、地球扁率、有限推力和第三天体。两条圆轨道都在参考表面之上，轨迹一碰到球面就停止。滑行误差的采样最大值和近点角残差只是数值诊断，不是任务认证。

物理教程

## 轨道转移也是一个计时问题

**背景** 一次短促的顺行点火，把轨道另一侧的拱点抬高。航天器随后在引力下滑行，到达目的地时再点火一次，把速度补到圆轨道速度。整个滑行过程中，目标圆轨道上的目标也一直在走。

**为什么值得理解** 活力公式和半椭圆飞行时间，来自二体问题的能量关系和开普勒运动。出发相位的算法借鉴了 NASA 的 Hohmann 科普构造；这里的双椭圆代价，是把两段相切的半椭圆拼起来、累计三次带符号的点火直接推出来的。

先抓重点

- **核心问题**: 完美改变轨道半径，仍可能错过目标吗？
- **一句话直觉**: 会。半径、角位置和速度是三个各自独立的到达条件；就算两次点火都理想，等待也会改变相位。

### 核心数学模型

#### 圆轨道与椭圆速度

$$
v_c(r)=\sqrt{\frac{\mu}{r}},\qquad v^2=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)
$$

比轨道能量决定了每个半径上的速度。引力场是给定的中心场，滑行时没有推力。

#### Hohmann 滑行时间

$$
a_H=\frac{r_1+r_2}{2},\qquad t_H=\pi\sqrt{\frac{a_H^3}{\mu}}
$$

两次点火都安排在理想拱点。微调第一次点火会改变实际的圆锥轨道，但第二次点火的预定时刻不变。

#### 带符号的点火量

$$
\Delta v_{1,H}=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_1}-\frac{1}{a_H}\right)}-v_c(r_1),\quad\Delta v_{2,H}=v_c(r_2)-\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_2}-\frac{1}{a_H}\right)}
$$

正值是顺行，负值是逆行。显示的总代价把各次速度增量的大小相加，不是带符号求和。

#### 出发时需要的相位

$$
\phi_{0,H}=\pi-n_2t_H\pmod{2\pi},\qquad \phi_{\mathrm{burn}}=\phi_0+(n_2-n_1)t_{\mathrm{wait}},\quad n_i=\sqrt{\frac{\mu}{r_i^3}}
$$

初始相位按立即出发设定；推迟出发时，两个物体先沿各自的圆轨道走一段。

#### 每次点火带来的能量和角动量变化

$$
\Delta\varepsilon=\mathbf v^-\!\cdot\!\Delta\mathbf v+\frac{\lVert\Delta\mathbf v\rVert^2}{2},\qquad\Delta h=\mathbf r\times\Delta\mathbf v
$$

点火时能量和角动量会跳变，每段滑行各自守恒。平面运动的角动量只有一个分量，就是这个叉积。

#### 三次点火的双椭圆方案

$$
\Delta v_B=|\Delta v_{1,b}|+|\Delta v_{b,1}+\Delta v_{b,2}|+|\Delta v_{2,b}|,\quad t_B=\pi\sqrt{\frac{a_{1b}^3}{\mu}}+\pi\sqrt{\frac{a_{b2}^3}{\mu}}
$$

中间半径在两条圆轨道之外。半径比大时，把它加大可以降低代价，但滑行时间会长很多。

### 常见难点

#### 到了半径不等于交会

**容易误解** 到达目标圆轨道就保证对接。

**正确理解** 还要比较目标的实际位置和点火后的相对速度；发射相位同样要紧。

#### 点火有方向

**容易误解** 降轨和升轨一样，都是正向点火。

**正确理解** 降轨时，两次理想 Hohmann 点火都变成反向。

#### 最省是有前提的

**容易误解** Hohmann 在所有转移中都是最省的。

**正确理解** 这里只比较共面圆轨道、二体引力下的转移；半径比大时，三次点火的双椭圆转移可能更省。

#### 轨道不能穿过地球

**容易误解** 圆锥曲线可以直接穿过地球。

**正确理解** 圆锥轨道第一次碰到参考表面，轨迹就在那里结束，后面的点火不再执行。

### 动手实验

1. 01

   #### 追上目标

   采集标称转移，查看到达时的位置误差和相对速度。

   **你会看到：** 第二次理想点火之后，两者都接近零。

2. 02

   #### 理想点火仍会错过

   选择延迟出发预设，再把延迟去掉。

   **你会看到：** 轨道半径始终吻合，变的是角位置能不能对齐。

3. 03

   #### 微调点火

   选择点火不足预设，比较半径和比能量。

   **你会看到：** 第二次点火仍按预定时刻进行，只是已经在另一条实际轨道上。

4. 04

   #### 用时间换燃料

   选择大半径比预设，再移动备选方案的远地点。

   **你会看到：** 双椭圆方案的点可以落在 Hohmann 代价下方，但在时间轴上远远靠右。

物理结论

总速度增量、飞行时间和到达时是否吻合，要放在一起比较。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)