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title: "Hofstadter 晶格 · 把能带分开互动实验｜Sandbox Physics"
description: "往每个格子里加多少磁通，才能让一条能带分成几条？只要每格的磁通不是磁通量子的整数倍，有理数磁通都会让能带分裂。"
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last_modified: "2026-10-27"
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磁通晶格 / 体相

# Hofstadter 晶格 · 把能带分开

**往每个格子里加多少磁通，才能让一条能带分成几条？** 只要每格的磁通不是磁通量子的整数倍，有理数磁通都会让能带分裂。磁通为 p 除以 q 个磁通量子，且 p、q 已约分时，磁原胞扩大到 q 倍，能带分成 q 个子带。有些子带会互相接触，不能拿 q 来数打开了几个能隙。

转动每个格子里的磁通，看它对应的磁性晶胞，再采集一张被能量分辨率展宽的直方图。把有理磁通下的精确矩阵、点数有限的蝴蝶谱和低磁通 Landau 近似放在一起比。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型是单粒子紧束缚。蝴蝶谱和动量网格的点数都有限。采集到的能量从各条能带中均匀抽取，再加上高斯分辨率展宽。这些是模拟数据，不是在真实材料上测到的谱。

磁性晶胞

$\alpha=\frac13$

圆面积表示横向概率（逐态缩放），键颜色表示跃迁相位。纵向七排示意平面波，并非七颗测得的原子。

$E/J_x=0$

02 / 选择一个态

## 看能带分开。

当前动量处的本征态

$\alpha=p/q$ · $E/J_x$

这是所选动量处直接由模型算出的概率。换一条能带会改变制备态；本征态的概率分布不随时间变化。

$\text{—}$

03 / 独立制备，逐次测量

## 你的分辨率能分清子带吗？

这种采集方式是：随机均匀抽一个动量网格点和一条能带，再加上高斯噪声读出能量。直方图估计的就是这种抽样下的态密度，不用上面选中的那一个本征态。

尚无记录。

$M_{\rm window}=0$

阴影窗口里统计采集到的能量。可以在进阶控制中移动窗口中心，已有数据不会丢失；窗口里没有计数，不能证明真有能隙。

$M=0$ $\text{—}$

估计只使用记录。均值误差为一个标准误差，边缘区间为逐点 95% Wilson 区间；均不包含网格误差或系统制备误差。

04 / 检查近似

## 网格离连续极限还有多远？

| 能带 | 采样最小值 | 采样最大值 | Landau 参考 |
| --- | --- | --- | --- |

$\text{—}$

表格算的是洁净的周期体相，不含边缘势。用两档嵌套的动量网格检查采样到的带边；两者之差只用来诊断，不是严格的误差界。Landau 值只在正磁通较小、靠近带底时列出，参考值不拟合采集数据。

## 留下一组对照

| 试验 | 能量：横向跃迁单位 |
| --- | --- |

展示最近十二次；CSV 包含全部记录及制备设置。最多保留六组样本，点击可恢复。

模型、约定与来源

方格晶格、每格一个轨道、无相互作用、相干。横向跃迁定能量单位，格距定长度单位。正磁通表示逆时针绕格的有向跃迁相位为正。周期晶胞大小由磁通约分后的分母决定；开放条带另设宽度。不包含无序、热库、材料校准、原子丢失或输运电极。

$\begin{gathered}(E/J_x)u_m=-u_{m-1}-u_{m+1}\\-2(J_y/J_x)\cos(k_y a+2\pi\alpha m)u_m\end{gathered}$

每个概率来自对应矩阵的本征矢。速度采用 Hellmann–Feynman 期望值；出现彩色边缘态不足以证明量子化 Hall 响应。

[Hofstadter · 1976](https://doi.org/10.1103/PhysRevB.14.2239) [Aidelsburger et al. · 2013](https://arxiv.org/html/1308.0321v1) [Tong · Quantum Hall Effect](https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qhe/qhe.pdf) [打开配套实验](https://sandboxphysics.com/zh/labs/magnetic-edge-spectroscopy/)

物理教程

## Hofstadter 晶格 · 把能带分开

**背景** 转动每个格子里的磁通，看它对应的磁性晶胞，再采集一张被能量分辨率展宽的直方图。把有理磁通下的精确矩阵、点数有限的蝴蝶谱和低磁通 Landau 近似放在一起比。

**为什么值得理解** 从一个磁相位出发，看它怎样进入哈密顿矩阵，怎样决定态在空间里的分布，最后变成能记录下来的数据。

先抓重点

- **核心问题**: 往每个格子里加多少磁通，才能让一条能带分成几条？
- **一句话直觉**: 有理磁通约成最简分数后，分母决定磁性周期。子带可能相接，分母并不等于打开的能隙数。

### 核心数学模型

#### Harper 矩阵

$$
(Hu)_m=-J_x(u_{m-1}+u_{m+1})-2J_y\cos(k_ya+2\pi\alpha m)u_m
$$

沿纵向取平面波，方格晶格就化成一个只含横向坐标的矩阵。在条带里，跨过边界的键被去掉，所选的势加在最左边两格上。

#### 磁性周期

$$
\alpha=p/q,\qquad u_{m+q}=e^{i\theta_x}u_m
$$

先约分，再确定晶胞。跨晶胞边界的跃迁要累加进去：两格晶胞的两条路径都要算，一格晶胞要加上自己连自己的键。

#### 低磁通参考

$$
E_n\simeq-2(J_x+J_y)+4\pi\alpha\sqrt{J_xJ_y}(n+\tfrac12)
$$

磁通为正且很小时，把带底附近的色散展开就得到这个式子。晶格能带的曲率会带来修正，它不是精确能谱。

### 常见难点

#### 画的是哪个系统？

**容易误解** 蝴蝶谱、条带和带噪声的数据，只是同一组数据的不同画法。

**正确理解** 蝴蝶谱采样的是周期体相的矩阵，条带有真实的开放边界。带噪声的数据来自另行说明的理想制备和读出过程。

#### 测量了什么？

**容易误解** 有了彩色的边缘点或直方图，就能确定 Hall 整数。

**正确理解** 这里给出的是模型能谱，以及能量或位置的采样。没有模拟输运或填满能带的泵浦，也不估计 Chern 数。

### 动手实验

1. 01

   #### 先预测，再动手

   比较三分之一、二分之一和零磁通。看约分后对应的磁性晶胞，再看采样得到的能带表。

   **你会看到：** 半磁通时，中间的子带相接。粗略的蝴蝶谱里有一块空白，并不能证明那里真有能隙。

2. 02

   #### 采集并保存

   在三分之一磁通采集能量并保存，再调差能量分辨率重测。

   **你会看到：** 柱状图和估计值只用原始测量算出，导出后可以自己重算。

3. 03

   #### 检验计算

   加密动量网格，比较低磁通的前三条子带与 Landau 参考。

   **你会看到：** 动量采样的疏密、条带宽度有限、连续近似，这三者带来的误差各不相同。

物理结论

模型是单粒子紧束缚。蝴蝶谱和动量网格的点数都有限。采集到的能量从各条能带中均匀抽取，再加上高斯分辨率展宽。这些是模拟数据，不是在真实材料上测到的谱。

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)