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title: "隐藏的熵：耗散能被看见多少互动实验｜Sandbox Physics"
description: "一个酶在不停耗散，观察者凭自己的记录能证明多少？消耗 ATP 的酶以稳定速率耗散，但只看到部分信息的观察者只能证明一个下限。"
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last_modified: "2026-10-29"
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FR25 · 不可逆性

# 隐藏的熵：耗散能被看见多少

**一个酶在不停耗散，观察者凭自己的记录能证明多少？** 消耗 ATP 的酶以稳定速率耗散，但只看到部分信息的观察者只能证明一个下限。接近平衡时，数循环几乎能证明全部耗散，燃料越足证明得越少；快照间隔越长证明得越少；只显示结合或空载的信号什么也证明不了。

ATP 驱动的酶在三种状态间循环。比较真实熵产生，与数循环、拍快照或只看结合与否所能证明的下限。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

模型是单个酶从空载（E）到结合 ATP（ET），放出磷酸后成为结合 ADP 的 ED，再放出 ADP 回到空载，每圈消耗一个 ATP。每一步都满足倾斜自由能曲面上的局域细致平衡；尝试速率与势垒高度为示意。用 Gillespie 算法精确模拟 1024 个独立的酶；柱和读数是模型精确值，点是由模拟记录得到的估计。未展示实测数据。

同一个酶，三种记录

每种记录能证明多少

快照越慢，能证明的越少

燃料越足，计数漏掉的越多

更多数值与计算方法

- **数循环能证明的比例**: $0$
- **拍快照能证明的比例**: $0$
- **由模拟完整记录估计的熵产生**: $0$
- **由模拟计数估计的计数下限**: $0$
- **由模拟快照估计的快照下限**: $0$
- **由模拟两色信号估计的下限**: $0$
- **循环速率**: $0$
- **圈数的扩散系数**: $0$
- **不确定性乘积及三态最小值**: $0$
- **在 E、ET、ED 中的时间比例**: $0$
- **平均停留时间**: $0$
- **记录条数乘时长**: $0$

精确值来自三态速率矩阵的稳态分布、倾斜生成元与矩阵指数。模拟估计用到 1024 条 Gillespie 记录的全部跳跃；快照估计给每个计数加二分之一。“结合或空载”记录严格可逆，因为离开结合态总是回到唯一的空载态。

物理教程

## 看不见的耗散

**背景** 消耗 ATP 的酶一圈又一圈地经过同样三种状态。每转一圈，一个 ATP 的自由能就以热的形式放进水里。

**为什么值得理解** 实验很少能看到每一种状态。荧光信号也许只能分辨有没有东西结合，相机也许每隔几毫秒才拍一帧。这样的记录还能揭示多少耗散？

先抓重点

- **核心问题**: 一个酶在不停耗散，观察者凭自己的记录能证明多少？
- **一句话直觉**: 每一种不完整的记录都只给出熵产生的下限。接近平衡时，数循环几乎能证明全部耗散；燃料充足时只能证明一部分。快照间隔越长，能证明的越少。只看结合与否的信号什么也证明不了，因为它的记录倒着放看起来完全一样。

### 核心数学模型

#### 循环的熵产生

$$
\sigma=\sum_{i\ne j}p_i w_{ij}\ln\frac{p_i w_{ij}}{p_j w_{ji}}=J\,\Delta\mu
$$

在稳态下，对所有跳跃求和后，结果就是循环速率 $J$ 乘以每圈燃料。

#### 数循环给出的下限

$$
\sigma\ge\frac{J^2}{D}
$$

式中 $D$ 衡量完成的圈数随时间散开的程度。热力学不确定性关系把计数的精确程度换成了最低耗散。

#### 快照给出的下限

$$
\sigma\ge\frac{1}{\Delta t}\sum_{i\ne j}P_{ij}\ln\frac{P_{ij}}{P_{ji}}
$$

$P_{ij}$ 是先看到状态 $i$、隔一个间隔再看到状态 $j$ 的概率。模糊的记录只会丢失不可逆性，不会凭空增加。

### 常见难点

#### 没有流，就没有耗散？

**容易误解** 观察到的信号没有净流动，系统就处于平衡。

**正确理解** “结合或空载”信号没有净流动，在时间反演下也完全对称，可酶一直在消耗 ATP。耗散藏在结合态内部。

### 动手实验

1. 01

   #### 看小球怎么走

   跟着大珠子沿倾斜的阶梯往下走。

   **你会看到：** 大多数跳跃向下，闪红光，表示热放进水里；偶尔向上跳，闪蓝光。小点一边漂移一边散开。

2. 02

   #### 放慢相机

   选择“相机太慢，错过循环”。

   **你会看到：** 快照给出的下限降到百分之几，数循环仍能证明将近一半。

3. 03

   #### 改变能量曲面

   上下拖动橙色或粉色的能级。

   **你会看到：** 熵产生随循环速率变化，但“结合或空载”信号能证明的始终是零。

物理结论

不可逆性既属于系统，也取决于记录：记录越粗，能看到的就越少。

## 相关实验与文章

随机热力学 · 阅读路径

### 从光阱里的珠子到用不可逆拉动求自由能

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **燃料驱动的酶每秒产生多少熵**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/entropy-production-in-networks/)
2. [文章 **只看到一部分状态时，还能看出多少耗散**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/hidden-dissipation/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)