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title: "Hamilton 相空间与积分器实验室互动实验｜Sandbox Physics"
description: "模拟轨道时能量误差很小，轨迹也可能是错的吗？完全可能。辛积分器按 Hamilton 方程的几何结构设计，能量误差可以长时间保持很小、有界，算出的物体却仍可能沿轨道越跑越超前或落后，偏离真实轨迹。能量表现、精度、辛性、时间可逆性是四回事，要分别检查。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M084 · 数值积分的几何

# Hamilton 相空间与积分器实验室

**模拟轨道时能量误差很小，轨迹也可能是错的吗？** 完全可能。辛积分器按 Hamilton 方程的几何结构设计，能量误差可以长时间保持很小、有界，算出的物体却仍可能沿轨道越跑越超前或落后，偏离真实轨迹。能量表现、精度、辛性、时间可逆性是四回事，要分别检查。

并排运行 Euler、RK4、辛 Euler 和 Verlet。比较谁长期更贴近真实相图或轨道，能量怎样漂移，每一步映射是否保住局部正则几何、能否倒着走回去。最后把步长减半，挑战运动变化很快的开普勒近日点。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

三个系统都是无量纲、单位质量的保守系统：谐振子、理想摆，以及在平面上沿开普勒轨道运动的质点。四种方法步长相同且恒定。标称周期按谐振子或开普勒的参考周期计算，不是有限振幅下摆的周期。振子和开普勒的参考是解析解；摆的参考用 RK4 在两种更细的步长下计算，两者的差别只是估计，不是严格的误差界。不模拟自适应步长、阻尼或物理碰撞。

物理教程

## 数值映射既有几何也有局部阶数

**背景** 数值方法把连续的 Hamilton 运动换成离散映射，每一步把正则坐标推到下一个时刻。

**为什么值得理解** 几何数值积分关心两件事：离散方法保住了真实运动的哪些结构，这些结构对长时间运动又意味着什么。

先抓重点

- **核心问题**: 模拟轨道时能量误差很小，轨迹也可能是错的吗？
- **一句话直觉**: 精度、能量表现、辛性和可逆性彼此相关，但各自测的是不同的东西。

### 核心数学模型

#### 三个系统的 Hamilton 方程

$$
\dot{\mathbf q}=\mathbf p,\qquad\dot{\mathbf p}=-\nabla V,\qquad H=\frac{|\mathbf p|^2}{2}+V
$$

取单位质量和无量纲单位，三个保守系统可以直接比较；谐振频率和开普勒引力参数都取一。

#### 先踢再漂移

$$
\mathbf p_{j+1}=\mathbf p_j-h\nabla V(\mathbf q_j),\qquad\mathbf q_{j+1}=\mathbf q_j+h\mathbf p_{j+1}
$$

辛 Euler 是一阶方法。它和显式 Euler 的区别在于，漂移时用的是刚更新过的动量。

#### 对称 Verlet 步

$$
\mathbf p_{j+1/2}=\mathbf p_j-\frac h2\nabla V(\mathbf q_j),\quad\mathbf q_{j+1}=\mathbf q_j+h\mathbf p_{j+1/2},\quad\mathbf p_{j+1}=\mathbf p_{j+1/2}-\frac h2\nabla V(\mathbf q_{j+1})
$$

把一次踢拆成前后两个半踢，得到二阶、可逆的映射。但真实 Hamilton 量并不因此精确守恒；近日点那段步长太粗，照样算不准。

#### 检验步进映射是否保辛

$$
D\Phi_h^{\mathsf T}J D\Phi_h=J,\qquad J=\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}
$$

读数用中心差分估算，给出矩阵各元素中最大的偏差。在四维里，只看行列式等于一是更弱的检验。开普勒斑块只是二维投影，不能当作完整的体积测量。

#### 能量误差和状态误差是两回事

$$
\epsilon_H=\frac{H_j-H_0}{\max(|H_0|,10^{-6})},\qquad\epsilon_z=\|\mathbf z_j-\mathbf z_{\rm ref}(t_j)\|_2
$$

最大能量误差统计全部步；绘图时每种方法保留约 600 个样本。能量曲线平稳，相位误差仍可能越积越大。记录一旦停止，就不再往后预测。

#### 怎样读对数坐标

$$
y_H=\operatorname{sgn}(\epsilon_H)\log_{10}\left(1+\frac{|\epsilon_H|}{10^{-8}}\right),\qquad y_z=\log_{10}\left(1+\frac{\epsilon_z}{10^{-8}}\right)
$$

同一种对数变换让微小误差和巨大误差同时可见，还保留能量漂移的正负。摆的参考解把每个粗步分成 32 个和 64 个 RK4 子步，再比较两者。标称周期数按缩放时间里每周期二倍圆周率计算。

### 常见难点

#### 能量准不等于轨道准

**容易误解** 能量误差很小，轨道就一定对。

**正确理解** 能量几乎守恒时，相位误差照样会积累。要和同一时刻的参考状态比。

#### 保辛不等于能量精确守恒

**容易误解** 辛方法每一步都精确守恒 Hamilton 量。

**正确理解** 步长足够小、能分辨运动时，能量误差通常在有限范围内来回振荡，但真实能量并没有精确守恒。

#### 近日点仍要小步长

**容易误解** 只要保住几何结构，大步长也没关系。

**正确理解** 靠近中心的那段运动很快，仍然需要短步长。把步长减半，比较轨道误差，不要只看行列式。

#### 投影面积不是相空间体积

**容易误解** 开普勒投影斑块的面积不变，就证明了辛性。

**正确理解** 开普勒问题的相空间是四维的，完整矩阵检验才给出相关的局部证据。

### 动手实验

1. 01

   #### 比较全部方法

   回看完整的谐振记录，切换选中的方法。

   **你会看到：** 各种颜色用的是同一步长，能量表现却不同：有的增长，有的漂移，有的在有限范围内振荡。

2. 02

   #### 步长减半

   用长期 RK4 记录，再把恒定步长减半。

   **你会看到：** 状态误差和能量漂移都随步长变化；局部阶数高，并不是唯一的标准。

3. 03

   #### 离开小角度极限

   比较大振幅往返摆和旋转摆两个预设。

   **你会看到：** 这里的参考解是细化后的数值解，没有用谐振近似代替。

4. 04

   #### 挑战开普勒近日点

   比较已解析和未解析的近日点，检查完整映射误差，再把步长减半。

   **你会看到：** 辛映射可以保住自己的几何结构，算出的轨迹却仍然很差。

物理结论

下结论之前，先把数值诊断和解析解或细化参考解对比。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)