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title: "生长域上的斑图互动实验｜Sandbox Physics"
description: "承载图案的区域长大后，浓度会怎样变？区域长大会拉长已有图案，也会把物质摊到更大的面积上。"
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last_modified: "2026-10-28"
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FR21 · 生长与稀释

# 生长域上的斑图

**承载图案的区域长大后，浓度会怎样变？** 区域长大会拉长已有图案，也会把物质摊到更大的面积上。即使总量没变，浓度也会降低，反应速度和接下来长出的图案都会受影响。

让已经长出斑点的方域继续扩张，观察旧斑点拉开、新斑点补入。比较浓度和总量，关掉反应后单独查看稀释。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

周期材料方域均匀指数扩张。扩散使用当前物理网距，两种浓度都随面积增加而稀释。边长到初始值的 1.7 倍后停止扩张，不模拟组织力学或细胞分裂。

生长时刻 $10$

平均浓度 $1$

激活组分总量 $256$

物理边长 $18.6$

模拟记录与解析参考

## 面积增大，浓度随之稀释

青线是平均激活组分浓度，金线是激活组分总量，均除以制备时的数值。反应会改变总量；切到“总量守恒”预设可移除全部补给与消耗。

主图采用固定色标：零为深蓝，一附近为青色，2.5 及以上为金色。相对两边彼此相接。

[阅读推导与完整例题](https://sandboxphysics.com/zh/stories/morphogenesis/)

物理教程

## 跟着材料走，再数清物质总量

**背景** 承载斑点的材料长大，相邻材料点也会拉开。同样多的物质铺到更大的面积上，浓度就会降低；反应若继续补给，情况又会不同。

**为什么值得理解** 只把图像放大，会漏掉稀释。把坐标贴在材料上，扩散、反应和面积变化便能放进同一个模型。

先抓重点

- **核心问题**: 没有丢掉物质，浓度为什么也能下降？
- **一句话直觉**: 浓度表示单位面积上有多少物质；区域生长时，面积本身也在变。

### 核心数学模型

#### 随材料伸展的坐标

$$
x=L(t)\xi,\qquad y=L(t)\eta,\qquad g=\frac{\dot L}{L}
$$

材料坐标留在原来的材料点上，物理坐标随方域扩张。长度与时间均无量纲，生长率表示单位时间内边长增加的比例。

#### 反应、扩散与面积稀释

$$
\left.\partial_t u\right|_{\xi,\eta}=\frac{D_u}{L(t)^2}\nabla_{\xi,\eta}^2u+f(u,v)-2gu
$$

稀释项中的二来自两个方向同时生长。底物也有同样的稀释项，但使用自己的扩散率和反应速率。

#### 方域中的物质总量

$$
M_u=L(t)^2\langle u\rangle,\qquad \frac{dM_u}{dt}=L(t)^2\langle f(u,v)\rangle
$$

周期边界下，扩散只在区域内部搬运物质。关掉全部反应后，总量保持不变，浓度仍会随面积变化。

### 常见难点

#### 浓度下降不一定有物质损失

**容易误解** 颜色变暗，说明化学物质变少了。

**正确理解** 区域扩张也能让颜色变暗。用平均浓度乘上当前面积，才能判断物质总量有没有减少。

#### 原来的稳态未必跟得上生长

**容易误解** 反应参数没动，平均浓度应该维持原值。

**正确理解** 生长持续稀释两种组分，反应速率随浓度改变。新的补给、消耗与稀释平衡可能偏离固定区域中的稳态。

### 动手实验

1. 01

   #### 同时看浓度与总量

   从“图案随域生长”开始，比较青线和金线。

   **你会看到：** 面积不断改变，反应也在继续，浓度与总量会走出不同的曲线。

2. 02

   #### 去掉补给和消耗

   选择“总量守恒”。

   **你会看到：** 金线保持在一，青线随方域扩张而下降。这次浓度下降完全来自稀释。

3. 03

   #### 固定区域作为比较

   依次选择“固定区域”和“快速扩张”。

   **你会看到：** 固定区域保留原来的物理间距。生长会拉伸旧图案，也会改变区域内能容纳哪些物理波长。

物理结论

研究生长中的图案，需要让浓度变化和几何扩张使用同一套物质守恒关系。

## 相关实验与文章

形态发生与反应扩散 · 阅读路径

### 反应、扩散、生长与主动应力

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **组织长大时，浓度为什么会变淡**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/morphogenesis/growing-domains/)

场、流体与物质 · 入门路径

## 从电场到电子显微镜

先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

[从这里开始 → **看见电场** 在偶极子周围移动探针，看电场是不是总指向电势地形的下坡方向。 观察 · 8 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)

1. [1 看见电场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)
2. [2 电荷在场中转弯](https://sandboxphysics.com/zh/labs/charged-particle/)
3. [3 电子波长与加速电压](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-wavelength/)
4. [4 电子衍射与倒空间](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-diffraction/)
5. [5 TEM 明场、暗场与选区衍射](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tem-mode-selector/)
6. [6 SEM 二次电子表面形貌](https://sandboxphysics.com/zh/labs/sem-topography/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/fields-and-matter/#starter-path)