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title: "引力场与壳层定理互动实验｜Sandbox Physics"
description: "进到空心球壳里面，球壳的引力去了哪里？哪儿也没去，是抵消了。"
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last_modified: "2026-10-27"
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M071 · 球对称引力

# 引力场与壳层定理

**进到空心球壳里面，球壳的引力去了哪里？** 哪儿也没去，是抵消了。在均匀球壳里面，近处的壳离得近、拉得强，但质量少；远处的壳拉得弱，质量却多，两边正好平衡。壳内处处场强为零，引力势却不是零，而是一个常数，和壳表面的势相同。

设定三层球壳的密度，沿半径移动探针读取引力场，再让质点从沿直径挖通的隧道里落下。比较空腔和均匀球体，最后用球外测到的加速度称出引力源的质量。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

牛顿径向场是事先给定的。页面会显示数值误差，并说明各项近似在哪里不再适用。

物理教程

## 球对称源、场与隧道

**背景** 球对称的引力源总是把物体拉向球心，拉力多大，取决于质量怎样分布。

**为什么值得理解** 把画面、算出的轨迹和另外采集的传感器读数对应起来看。

先抓重点

- **核心问题**: 进到空心球壳里面，球壳的引力去了哪里？
- **一句话直觉**: 场为零，势不一定为零。

### 核心数学模型

#### 半径以内的质量

$$
M(<r)=4\pi\int_0^r\rho(s)s^2\,ds
$$

各层密度决定每个半径以内有多少质量；更外面的球壳在这里的合力为零。

#### 场与势

$$
\begin{aligned}g(r)&=\frac{GM(<r)}{r^2}\\\Phi(r)&=-G\left[\frac{M(<r)}r+4\pi\int_r^R\rho(s)s\,ds\right]\end{aligned}
$$

外侧球壳在空腔里不产生力，却仍给空腔贡献一个常数势。球心处直接取极限值，不会出现除以零。

#### 均匀球内的简谐运动

$$
\begin{aligned}g(r)&=\frac{4\pi G\rho}{3}r\quad(r\le R)\\x(t)&=x_0\cos\left(\sqrt{\frac{4\pi G\rho}{3}}\,t\right)\end{aligned}
$$

在均匀球内从静止释放，质点做简谐运动；经过球心时，力也不会变成无穷大。

#### 单位质量能量

$$
\varepsilon=\frac12\dot x^2+\Phi(|x|)
$$

理想化的隧道沿直径挖通，但不挖走引力源的任何质量。

#### 从球外推断质量

$$
g_i=GM\,r_i^{-2}
$$

用球外测得的原始加速度和校准过的半径，拟合一条过零点的直线，求出斜率。拟合时不告诉它源的质量。

### 常见难点

#### 模型的前提

**容易误解** 理想模型自然就能描述真实行星或已经松弛的星团。

**正确理解** 引力源是给定的，质点不会反过来影响它，省略了哪些效应也都写明了。

### 动手实验

1. 01

   #### 移动场探针

   从中心向外拖动蓝色手柄，对比实线场与虚线球外点质量参考。

   **你会看到：** 空腔内加速度为零，势能仍为负。

2. 02

   #### 改变引力源

   依次试“均匀球体”“致密核心”“空心球壳内静止”，再改动三层密度。

   **你会看到：** 密度在哪里变化，会影响球内的场；球外各点的场只取决于总质量。

3. 03

   #### 穿越空腔

   比较“空心球壳内静止”和“穿过空腔”两个预设，拖动金色时间手柄。

   **你会看到：** 质点进入没有引力的空腔后，保持进入时的速度继续前进。

4. 04

   #### 用读数称出质量

   采集一次径向扫描，加上噪声，再导出原始 CSV。

   **你会看到：** 球外读数拟合出的质量和精确的源质量分开显示。

物理结论

数值对得上还不够，还要检查前提是否成立。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)