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title: "引力弹弓任务设计器互动实验｜Sandbox Physics"
description: "没有发动机点火，飞掠为何能改变速度？靠绕着一颗本身在运动的行星拐个弯。相对行星来看，飞船离开时和进来时一样快，飞掠只改变了方向。行星却在绕太阳运动，把它的速度分别加到进来和离开时的速度上，相对太阳的两个速率就不一样了。飞船多出或少掉的能量，是跟行星轨道换来的。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M079 · 双曲线飞掠 / 设计

# 引力弹弓任务设计器

**没有发动机点火，飞掠为何能改变速度？** 靠绕着一颗本身在运动的行星拐个弯。相对行星来看，飞船离开时和进来时一样快，飞掠只改变了方向。行星却在绕太阳运动，把它的速度分别加到进来和离开时的速度上，相对太阳的两个速率就不一样了。飞船多出或少掉的能量，是跟行星轨道换来的。

设计一次掠过地球或木星的双曲线飞掠。拖动近拱点、反转转向、切换参考系，看实际轨迹怎样对应渐近速度三角形、能量交换和安全的出射速度目标。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

飞掠发生在同一平面内，不点火，用拼接圆锥方法计算；天体是球形，行星速度恒定，航天器质量忽略不计。不考虑大气、潮汐、扁率、太阳加速度和星历。画出的轨迹只到有限远的观测边界，渐近矢量则取无穷远处的值。轨迹一碰到表面就停止，也不给出射结论。安全高度是你自选的设计余量，不是经过认证的大气边界。

物理教程

## 在速度三角形中看见能量交换

**背景** 航天器朝一颗运动的行星落下去，绕过它，再飞走。在这次局部二体飞掠里，航天器的能量守恒，但那是它在行星参考系里的能量。

**为什么值得理解** 无动力的双曲线转向和拼接圆锥的渐近构造，依据的是 NASA 的轨迹设计资料。这里的教学模型只算有限的一段局部轨迹，行星速度恒定，安全余量由你自己选。

先抓重点

- **核心问题**: 同一次无动力飞掠，能否因经过行星不同侧而加速或减速？
- **一句话直觉**: 飞掠只让相对行星的速度转个方向，行星系里的渐近速度大小不变。把行星速度分别加到方向不同的入射和出射矢量上，惯性系里的速度大小就不一样了，差出来的就是和行星交换的轨道能量。

### 核心数学模型

#### 同一速度的两个参考系

$$
\mathbf V_{\rm in}=\mathbf V_p+\mathbf v_{\infty,\rm in},\qquad\mathbf V_{\rm out}=\mathbf V_p+\mathbf v_{\infty,\rm out}
$$

大写字母表示惯性坐标中的速度，超额速度矢量是相对行星的渐近速度。整个局部飞掠过程中，行星速度保持不变。

#### 双曲线确定转向

$$
e_h=1+\frac{r_pv_\infty^2}{\mu_p},\qquad\delta=2\arcsin\frac{1}{e_h}
$$

入射超额速度不变时，近拱点越近，偏转越大。转角的正负决定从行星哪一侧绕过。

#### 用瞄准参数瞄准

$$
b=r_p\sqrt{1+\frac{2\mu_p}{r_pv_\infty^2}},\qquad v_p=\sqrt{v_\infty^2+\frac{2\mu_p}{r_p}}
$$

瞄准参数是入射渐近线偏开的距离，不是最近距离。经过近拱点时，速度比渐近速度大。

#### 不点火时，超额速度不变

$$
|\mathbf v_{\infty,\rm out}|=|\mathbf v_{\infty,\rm in}|,\qquad\varepsilon_p=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu_p}{r}=\frac{v_\infty^2}{2}
$$

行星系速度在有限轨迹上先增后减；相等的是两端渐近速度的大小。

#### 交换的能量来自哪里

$$
\Delta\varepsilon_{\rm inertial}=\frac{V_{\rm out}^2-V_{\rm in}^2}{2}=\mathbf V_p\cdot(\mathbf v_{\infty,\rm out}-\mathbf v_{\infty,\rm in})
$$

运动的行星把轨道能量交给航天器，或者从它那里拿走。行星的反冲之所以能忽略，只是因为航天器质量被忽略了。转向也可能让惯性系速度变小。

#### 安全地达到速度目标

$$
r_p>R_p,\quad r_p\ge r_{\rm safe}\ge R_p,\qquad |V_{\rm out}-V_{\rm target}|<0.25\,\mathrm{km/s}
$$

这个教学设计只检查一个速度和你选的安全余量，不规划飞往目的地的转移轨道。轨迹一旦碰到或进入天体表面，解析传播就在那里停止。

### 常见难点

#### “更快”要说清相对谁

**容易误解** 引力增加行星系入射与出射速度。

**正确理解** 入射和出射的超额速度一样大。把行星自己的速度加上去，惯性系里的速度大小才会变。

#### 更近并非总是更好

**容易误解** 在允许范围内飞得越低，加速总是越多。

**正确理解** 能量交换取决于两个矢量的点积。转角太大，出射方向可能越过速度最大的那个方向。

#### 有限边界不是无穷远

**容易误解** 图上画的第一个速度就是超额速度。

**正确理解** 在轨迹两端，引力仍在起作用。速度三角形用的是渐近速度，速度历史用的是当地速度。

#### 撞上行星，就没有出射飞掠

**容易误解** 数学上的双曲线穿过行星，也可以算成功。

**正确理解** 轨迹第一次碰到表面，记录就停止，也不给出射结果。另外，你选的安全余量也可能否决一条没有撞上的轨迹。

### 动手实验

1. 01

   #### 比较参考系

   采集加速预设，再选择惯性坐标。

   **你会看到：** 这次飞掠在行星系里能量不变，运动的行星却改变了航天器在惯性系里的速度。

2. 02

   #### 让交换反向

   在相同半径比较加速与减速预设。

   **你会看到：** 超额速度不变，但惯性系里的出射速度大小随转向而变。

3. 03

   #### 安全设计

   拖动近拱点并调整出射标量速度目标，检查权衡图。

   **你会看到：** 只有既不撞上行星、又不进入安全余量的飞掠，才能通过速度目标。权衡曲线的最高点可能落在中间。

4. 04

   #### 停止不可能的任务

   比较安全余量违规与表面截获预设。

   **你会看到：** 一条轨迹离行星比你选的余量还近；另一条碰到表面就停下，没有出射结果。

物理结论

同时比较观测、条件拟合与守恒诊断。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)