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title: "引力透镜望远镜互动实验｜Sandbox Physics"
description: "看不见的质量把背景光弯折，怎样从中称出它有多重？看它给背后的恒星造出的像。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/gravitational-lens-telescope/"
last_modified: "2026-11-03"
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光学 020 · 称一个孤立的黑洞

# 引力透镜望远镜

**看不见的质量把背景光弯折，怎样从中称出它有多重？** 看它给背后的恒星造出的像。质量把恒星的光弯成两个像，分处一个圆环的内外，这个环叫爱因斯坦环，它的角大小随质量的平方根增大。量出两个像的间距和亮度，再加上距离，就能算出质量。2025 年，哈勃望远镜从这两个像给恒星的光带来的微小位移，称出了一个孤立、不发光的黑洞，约重 7 个太阳质量。

把黑洞拖过通向一颗恒星的视线：恒星变亮，分成两个像、一个环或两道弧，像隔多远就称出了黑洞的质量。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

[孤立黑洞](https://sandboxphysics.com/zh/labs/gravitational-lens-telescope/) [带伴星的透镜](https://sandboxphysics.com/zh/labs/gravitational-lens-telescope/?mode=binary)

模型假设

透镜是一个点质量，光的弯折按广义相对论的弱场结果计算。事件参数取自 Sahu 等人（2025）对 OGLE-2011-BLG-0462 的测量：爱因斯坦半径 5.496 mas，走过它用 273.1 天，即透镜与恒星每年相对移动 7.35 mas；最接近时相距 0.00271 个爱因斯坦半径；透镜重 7.15 个太阳质量，距离 1.52 kpc，背后的恒星距离 7.1 kpc。无论怎样调节，恒星都留在这个距离上。恒星默认半径 2.88 个太阳半径，与 Sahu 等人（2022）给出的 0.0038 mas 角直径一致。透镜沿直线移动：实验不计地球的周年运动，而正是这一运动让视差得以测出，所以光变曲线关于最接近时刻对称。恒星按亮度均匀的圆盘处理，没有临边昏暗，也不混入其他恒星的光。实验把恒星边缘上的 720 个点逐一代入透镜方程，求出两个像的轮廓。像的面积给出增亮倍数，对均匀圆盘是精确的；两个像按亮度加权的中心给出位移。由像求质量时，用的是每个像的光心和两个像的亮度：对点状恒星和完整的环都是精确的，环的半径由内外两条边得出；像变成宽弧时，结果偏低。侧视场景里，横向距离按沿视线距离的约 2800 万倍绘制，恒星和黑洞也已放大；天空图按真实角度绘制。

物理教程

## 称一个不发光的黑洞

**背景** 2011 年 6 月 2 日，OGLE 和 MOA 两个巡天项目同时宣布：银河系中心方向的一颗星正在变亮。它最亮时是平时的 369 倍，前后亮了好几个月，可它前面什么也看不见。随后 Kailash Sahu 等人用哈勃空间望远镜对这颗星拍了 11 年，发现它在天上的位置也微微挪了一点。2025 年，他们定出这个看不见的透镜重 7.15 ± 0.83 个太阳质量，远在 1.52 kpc 之外：这是人类第一次找到一个没有伴星、单独存在的黑洞。

**为什么值得理解** 单独的黑洞不发光，也不拉动任何我们能观察的东西。可是恰好位于它后方的恒星，光会被引力弯折，弯多少由质量决定。只要量得出这份弯折，不用看见黑洞，也能称出它的质量。

先抓重点

- **核心问题**: 背景恒星的增亮和它的像，怎样告诉我们一个看不见的透镜有多重？
- **一句话直觉**: 恒星的光从黑洞两侧绕过，在望远镜里成为两个像：一个在角半径为 $\theta_{\mathrm{E}}$ 的圆外面，一个在圆里面，这个半径叫爱因斯坦半径。对 OGLE-2011-BLG-0462，它是 5.5 mas，相当于从 700 km 外看一枚硬币的宽度。两个像到透镜的距离相乘，总是等于 $\theta_{\mathrm{E}}^{2}$，而 $\theta_{\mathrm{E}}^{2}$ 与质量成正比，所以有了像，再知道距离，就能算出质量。

### 核心数学模型

#### 爱因斯坦半径随质量的平方根增大

$$
\begin{gathered}\theta_{\mathrm{E}}=\sqrt{\kappa M\pi_{\mathrm{LS}}},\quad\kappa=\frac{4G}{c^{2}\,\mathrm{AU}}=8.144\,\frac{\mathrm{mas}}{M_{\odot}}\\\pi_{\mathrm{LS}}=1\,\mathrm{AU}\left(\frac{1}{D_{\mathrm{L}}}-\frac{1}{D_{\mathrm{S}}}\right)\end{gathered}
$$

质量为 $M$、距离为 $D_{\mathrm{L}}$ 的透镜挡在距离为 $D_{\mathrm{S}}$ 的恒星前面，三者对齐时，恒星的光被弯成角半径为 $\theta_{\mathrm{E}}$ 的环。$\pi_{\mathrm{LS}}$ 是透镜与恒星的视差之差。反过来，$M=\theta_{\mathrm{E}}^{2}/(\kappa\pi_{\mathrm{LS}})$：Sahu 等人（2025）就是用 $\theta_{\mathrm{E}}=5.496\,\mathrm{mas}$ 和光变曲线里量出的视差算出质量的。

#### 点质量后面的恒星总有两个像

$$
\begin{gathered}\beta=\theta-\frac{\theta_{\mathrm{E}}^{2}}{\theta}\\\theta_{\pm}=\frac{\beta\pm\sqrt{\beta^{2}+4\theta_{\mathrm{E}}^{2}}}{2},\quad\theta_{+}\theta_{-}=-\theta_{\mathrm{E}}^{2}\end{gathered}
$$

恒星在离透镜 $\beta$ 的角度上，它的像出现在满足透镜方程的角度 $\theta$ 处。解总有两个：$\theta_{+}$ 在爱因斯坦环外、恒星同侧，$\theta_{-}$ 在环内、另一侧。恒星正好在透镜后方时，四面八方都满足方程，两个像连成一个环。

#### 亮度和亮度比

$$
\begin{gathered}A=\frac{u^{2}+2}{u\sqrt{u^{2}+4}},\quad u=\frac{\beta}{\theta_{\mathrm{E}}}\\r=\frac{A_{+}}{\lvert A_{-}\rvert}=\left(\frac{\theta_{+}}{\theta_{-}}\right)^{4}\;\Rightarrow\;\theta_{\mathrm{E}}=\frac{\Delta\theta}{r^{1/4}+r^{-1/4}}\end{gathered}
$$

弯折把每个像拉长，却不改变它的表面亮度，所以像越大越亮。$A$ 是点状恒星离透镜 $u$ 个爱因斯坦半径时的总增亮倍数，$u$ 越小，它越大，没有上限。只要量出两个像的亮度比 $r$ 和间距 $\Delta\theta$，不知道暗透镜在哪里，也能求出 $\theta_{\mathrm{E}}$。

#### 恒星的光看起来挪了位置

$$
\delta=\frac{u}{u^{2}+2}\,\theta_{\mathrm{E}},\qquad\delta_{\max}=\frac{\theta_{\mathrm{E}}}{2\sqrt{2}}\ \text{at}\ u=\sqrt{2}
$$

两个像靠得太近、分辨不开时，它们合起来的光仍然偏离恒星的真实位置 $\delta$（Sahu 等人 2022，式 6）。它在 $u=\sqrt{2}$ 处最大，那时增亮早已退去；它与 $\theta_{\mathrm{E}}$ 成正比。哈勃测的就是这个位移。

### 常见难点

#### 黑洞本身根本看不见

**容易误解** 像里显示的是黑洞本身，被弯折的光勾出了轮廓。

**正确理解** 像里的光全都来自背景恒星，黑洞只是让它弯折。7 个太阳质量的黑洞本身只有约 21 km 大，远远显示不出来；Sahu 等人也没有探测到透镜发出的光。

#### 变亮不是因为离我们更近

**容易误解** 恒星变亮，是因为透镜把它拉近了，或者像放大镜一样把光聚到一点。

**正确理解** 恒星哪儿也没去。它的像绕着透镜被拉长，而弯折不改变表面亮度，像越大，带来的光就越多。增亮多少，只取决于透镜离视线有几个爱因斯坦半径。

#### 只看光变曲线称不出质量

**容易误解** 事件持续多久，就说明透镜有多重。

**正确理解** 273 天的时间尺度，是爱因斯坦半径除以透镜和恒星在天上相对移动的速度，而这个速度事先并不知道。像的大小，或者像的光的位移，才直接给出爱因斯坦半径；再加上距离或视差，才得到质量。

#### 两像公式要求恒星很小

**容易误解** 不管恒星多大，间距和亮度比都能给出准确的质量。

**正确理解** 这个公式对点状恒星是精确的。恒星大到占爱因斯坦半径的相当一部分时，像变成弧，光心移动，公式就会偏：在“两道弧”预设里低了 9 %。完整的环则可以从内外两条边重新得到半径。

### 动手实验

1. 01

   #### 看两个像

   保持默认预设“一颗星，两个像”。

   **你会看到：** 天空图里，恒星分成两个像：外侧像在它真实位置的外面，较暗的内侧像在黑洞另一边，两者相隔 11.0 mas。合起来，它们比恒星本身亮 4.63 倍；由间距和亮度比算出 7.15 个太阳质量。

2. 02

   #### 把黑洞拖过视线

   在场景里横向拖动黑洞，或者移动日期滑块。

   **你会看到：** 越靠近视线，两个像越亮，间距也缩向爱因斯坦环的直径 11.0 mas。光变曲线、位移图和间距图的游标都跟着移动。

3. 03

   #### 看最亮的时刻

   载入“最接近时：亮了约 370 倍”。

   **你会看到：** 恒星亮了 370 倍，与 2011 年记录的 369 倍很接近。两个像几乎落在爱因斯坦环上，分处两端，合起来的光又回到恒星的真实位置：位移只有 0.007 mas。

4. 04

   #### 在后面放一颗大恒星

   载入“大恒星正对后方：爱因斯坦环”。

   **你会看到：** 一颗半径是太阳 1000 倍的恒星正对黑洞后方时，两个像连成一个直径 11.0 mas 的环，亮了 16.8 倍。恒星越大，峰值增亮越小，因为它各部分离透镜的远近不同。

5. 05

   #### 让大恒星稍微错开

   载入“稍微错开：两道弧”。

   **你会看到：** 环断成两道弧。弧的光心不再在点状恒星的像所在的位置，两像公式读出 6.49 个太阳质量，低了 9 %。

6. 06

   #### 换成中子星

   载入“换成中子星：环更小，事件更短”。

   **你会看到：** 1.4 个太阳质量时，爱因斯坦环半径是 2.43 mas，两个像相隔 5.0 mas，事件走过一个爱因斯坦半径只要 121 天。2022 年有一个团队把透镜定在 1.6 到 4.4 个太阳质量之间，认为它多半是中子星或轻的黑洞；后来哈勃的新图像支持约 7 个太阳质量的黑洞。

物理结论

离最接近时刻还有 60 天时，恒星分成两个像，相隔 11.0 mas，合起来亮了 4.63 倍；由间距和亮度比算出 7.15 个太阳质量。最接近时，恒星亮了 370 倍，两个像几乎正好落在爱因斯坦环的两端。换成同一位置上 1.4 个太阳质量的中子星，两个像只隔 5.0 mas，事件的时间尺度也从 273 天缩短到 121 天。这次事件的两个像从来没有被分开看到过：哈勃测的是恒星合起来的光的位移，它在离最接近时刻约 386 天时最大，达到 1.94 mas。

## 相关实验与文章

从弯曲星光读到行星光变 · 阅读路径

### 从弯曲星光读到行星光变

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **看不见的行星怎样让远方恒星突然变亮**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microlensing-planets/a-dark-planet-brightens-a-star/)
2. [文章 **从弯折光线走到两幅恒星像**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microlensing-planets/from-bent-light-to-two-images/)
3. [文章 **一张星盘穿过焦散时发生什么**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microlensing-planets/a-stellar-disk-crosses-a-caustic/)
4. [文章 **一条光变曲线能告诉我们多少透镜信息**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microlensing-planets/read-a-light-curve-without-weighing-too-soon/)
5. [文章 **从地面和太空一起测量暗行星**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microlensing-planets/read-ground-space-and-roman-evidence/)
6. [文章 **用五份已发表观测重算 OGLE-2005-BLG-390**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microlensing-planets/refit-the-published-ogle390-files/)

天文与引力 · 阅读路径

### 引力留下的痕迹

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **替银河系暗中心称重的恒星**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/astronomy-gravity/galactic-centre-stellar-orbits/)
2. [实验 **径向速度、活动恒星与双星质量** 把投影轨道与质量联系起来](https://sandboxphysics.com/zh/labs/binary-star-mass/)

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)