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title: "Gaussian 光束与光束质量互动实验｜Sandbox Physics"
description: "透镜能把质量较差的光束变为衍射极限光束吗？不能。理想透镜能把光斑聚小，也能把发散角压小，但一个变小，另一个就变大，束腰乘发散角始终不变。"
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last_modified: "2026-10-27"
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L12 · 传播、聚焦与测量

# Gaussian 光束与光束质量

**透镜能把质量较差的光束变为衍射极限光束吗？** 不能。理想透镜能把光斑聚小，也能把发散角压小，但一个变小，另一个就变大，束腰乘发散角始终不变。光束质量看的正是这个乘积。在几个位置量出光束半径，找到束腰，就能算出质量因子。

让光束穿过自由空间、聚焦透镜或扩束器，分别跟踪水平和垂直方向的宽度。沿光路移动轮廓仪，记下半径怎样变化，再用测得的二阶矩半径算出光束质量。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

光束在空气中传播，采用标量近轴模型，透镜是口径无限大的理想薄透镜。轴向零点取在源的水平束腰。水平和垂直方向是固定主轴，两轴之间不耦合。半径取均方根宽度的两倍；对 Gaussian 光束，就是强度降到 e 的平方分之一处的半径。质量因子为一的光源是相干 Gaussian 场，可以用物理复光束参数描述。质量因子更大的光源用 Gaussian Schell 二阶矩模型：强度仍是同样的 Gaussian 形状，角度方差更大；它不是给相干 Gaussian 随意安上一个质量因子。垂直源束腰可以沿轴移动，用来表示简单像散。协方差和装置用同一组光线矩阵传播，理想光学元件不改变每个轴的质量。轮廓仪是可以移动、不扰动光束的取样面，不是不透明挡板；图像按峰值归一化。记录的是理想轮廓半径，不含实验图像噪声。只有最后一片启用透镜之后的平面参与拟合。自动扫描 13 个平面，范围随输出焦散调整，可能超出装置视图。三个不同平面足够做这里的无噪声二次拟合，但不等于符合 ISO 的测量。模型不考虑有限口径、像差、部分相干重建、旋转的一般像散和探测器噪声。推断出的输出束腰如果落在最后一片透镜上游，它是从下游传播段反推出来的虚束腰。

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物理教程

## 透镜改变焦点，不改变相空间面积

**背景** Gaussian 光束因为衍射，从最细处（束腰）向外扩展。透镜改变波前曲率，能聚出更小的束腰；但无损透镜的光线矩阵不改变位置与角度协方差的行列式。

**为什么值得理解** 只看一个平面上的光斑，分不清它是高质量的细光束，还是落在焦点附近的差光束。光束质量要沿着传播方向测。

先抓重点

- **核心问题**: 透镜能在不改善质量因子的情况下减小发散角吗？
- **一句话直觉**: 理想光学元件能拿光斑大小换发散角，但两者由二阶矩算出的乘积不变，这个乘积决定光束质量；在几个平面取样，就能找到束腰，并算回这个乘积。

### 核心数学模型

#### 相干 Gaussian 场

$$
\begin{aligned}q&=z-z_0+iz_R\\z_R&=\pi w_0^2/\lambda\\w^2(z)&=w_0^2\left[1+\left(\frac{z-z_0}{z_R}\right)^2\right]\end{aligned}
$$

这个复参数描述光束质量为一的 Gaussian 场。在束腰处，它的实部为零。

#### 自由传播与薄透镜

$$
\begin{aligned}P(d)&=\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}\\F(f)&=\begin{pmatrix}1&0\\-1/f&1\end{pmatrix}\\q^{\prime}&=(Aq+B)/(Cq+D)\end{aligned}
$$

装置和光束二阶矩用同一组光线矩阵。焦距为正的透镜让光束会聚，为负的让光束发散。

#### 二阶矩与守恒的光束质量

$$
\begin{aligned}\Sigma&=\begin{pmatrix}\langle x^2\rangle&\langle x\theta\rangle\\\langle x\theta\rangle&\langle\theta^2\rangle\end{pmatrix}\\\Sigma^{\prime}&=T\Sigma T^{\mathsf T}\\M_x^2&=\frac{4\pi}{\lambda}\sqrt{\det\Sigma}\end{aligned}
$$

本页光束中心在轴上。理想光学矩阵的行列式为一，协方差行列式和各主轴的质量都保持不变。

#### 半径、发散角与焦散

$$
\begin{aligned}w_\sigma&=2\sqrt{\langle x^2\rangle}\\w_\sigma^2(z)&=w_{\sigma0}^2+\Theta^2(z-z_0)^2\\M^2&=\pi w_{\sigma0}\Theta/\lambda\end{aligned}
$$

半径取均方根宽度的两倍，发散角取半角。上标是质量因子名字的一部分，滑块值不要再平方。

#### 用记录的平面反推质量

$$
\begin{aligned}w_\sigma^2(z)&=a+bz+cz^2\\z_0&=-b/(2c)\\w_{\sigma0}^2&=a-b^2/(4c)\\M^2&=\frac{\pi}{\lambda}\sqrt{ac-b^2/4}\end{aligned}
$$

只用记录到的轮廓值，把半径平方拟合成位置的二次函数。至少要三个不同平面，才能定出全部系数；真实测量还要更多取样，并评估噪声。

#### Kepler 扩束器

$$
\begin{aligned}d&=f_1+f_2\\|\mathcal M|&=f_2/f_1\\w_{\rm out}&\simeq|\mathcal M|w_{\rm in}\\\Theta_{\rm out}&\simeq\Theta_{\rm in}/|\mathcal M|\end{aligned}
$$

输入光束接近准直时，两片正透镜相隔两焦距之和，光斑放大多少倍，发散角就缩小多少倍。Gaussian 光束尺寸有限，结果会略微偏离光线光学的放大率。

### 常见难点

#### 光斑小不等于质量高

**容易误解** 焦点最小的光束，质量一定最好。

**正确理解** 光束质量同时看束腰半径和远场发散角。焦点大小还取决于源宽度、波长和透镜焦距。

#### 二阶矩模型不是相干场

**容易误解** 任意质量因子都能直接代进物理 Gaussian 参数，光场还是同一个纯场。

**正确理解** 本页质量因子较大的光源用 Gaussian Schell 二阶矩模型。它们的强度分布可以仍是 Gaussian，相干性和角度扩展却不同。

#### 教学扫描不是认证测量

**容易误解** 十三个理想样本就够得上符合 ISO 的实验测量。

**正确理解** 这里的无噪声采集只用来演示拟合。实际测量要按规定取样，还要校准、扣除背景，并评估不确定度。

### 动手实验

1. 01

   #### 观察自由传播

   选择“自由传播”，把轮廓仪移到几个位置，记录三个不同平面。

   **你会看到：** 光斑离源束腰越远越大，拟合出的光束质量为一。

2. 02

   #### 聚焦修复不了质量

   分别选择“聚焦 Gaussian”和“同样大小，更差光束质量”预设，各扫描 13 个平面。

   **你会看到：** 源半径相同，角度方差可以不同。透镜改变了焦散，各轴质量因子却不变。

3. 03

   #### 分开像散的两轴

   选择“两个不同束腰面”，移动轮廓仪并扫描。

   **你会看到：** 水平和垂直束腰落在不同位置。某处光斑看上去是圆的，不代表两轴共用一个束腰。

4. 04

   #### 用尺寸换发散角

   选择“三倍 Kepler 扩束器”，比较半径和发散角，再开关第二片透镜。

   **你会看到：** 两片透镜把近准直光束的半径放大约三倍，发散角缩小到约三分之一，光束质量不变。

物理结论

复光束参数只适用于相干 Gaussian 场。质量较差或有简单像散的光束，要逐轴传播二阶矩，并在同一段自由传播区拟合记录的半径。

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