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title: "Gaussian 光束 Lab互动实验｜Sandbox Physics"
description: "聚焦的 Gaussian 光束穿过焦点时，宽度和相位怎样变化？"
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last_modified: "2026-10-27"
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光学 090 · 光纤、结构光与现代波动光学

# Gaussian 光束 Lab

**聚焦的 Gaussian 光束穿过焦点时，宽度和相位怎样变化？** 光束先收窄到束腰，再逐渐展宽：离束腰一个 Rayleigh 长度处，宽度变为根号二倍，更远处按固定的发散角张开。透镜会改变束腰的位置和大小。穿过焦点时，Gouy 相位额外多出半个周期，做模式匹配时必须算进去。

在三维高斯聚焦台上，看透镜怎样变换复光束参数。可以采样模式场，连续追踪 Gouy 相位和波前曲率的正负，按二阶矩计算束质因子，并冻结探测记录。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

光在空气中按标量近轴近似传播，薄透镜理想，口径无限大。束质因子来自指定的基模与一阶模非相干混合，因此总场没有唯一的相位。三维显示比例固定，仅作示意；理想探测窗随光束自适应。不考虑像差和截光，也不对应实测仪器。

物理教程

## 检验Gaussian 光束 Lab的物理过程

**背景** 光束既有强度轮廓，也有相位面，一个复光束参数把两者都记下：$\frac1q=\frac1R-i\frac{\lambda_0}{\pi w_b^2}$。透镜立刻改变曲率，却不能让束宽瞬间改变；新的束腰要靠之后的传播才形成。

**为什么值得理解** 聚焦的 Gaussian 光束穿过焦点时，宽度和相位怎样变化？

先抓重点

- **核心问题**: 聚焦的 Gaussian 光束穿过焦点时，宽度和相位怎样变化？
- **一句话直觉**: 模式匹配看的是两个场重叠多少，不是亮斑一样大不一样大：$\eta=\sum_j p_j\left|\int u_{\rm target}^{*}u_j\,d^2r\right|^2$。即使强度半径相同，曲率不匹配也会降低耦合。非相干的各个模式，先各自算重叠的平方，再按功率权重相加。

### 核心数学模型

#### 坐标、半径与复参数

$$
q(z)=z-z_w+iz_R,\quad z_R=\frac{\pi w_{b,0}^2}{\lambda_0},\quad w_D=2\sigma_x=\sqrt{M^2}\,w_b
$$

空气折射率取一。长度统一按米计算，控件则以微米、纳米和毫米显示。光轴从光源指向探测面，输入束腰定义绝对原点。模式基半径是振幅降到峰值 e 分之一时的半径；只有纯基模时，二阶矩半径才与它相等。它不是直径，也不是波前曲率半径。

#### 薄透镜改变相位，不改变瞬时强度

$$
q_+=\frac{q_-}{1-q_-/f},\quad q_d=q_++d,\quad\frac1{R_+}=\frac1{R_-}-\frac1f
$$

无损、口径无限的透镜给场乘上一个二次相位，前后两面束宽相同。输出复参数的实部和虚部给出新束腰的位置和 Rayleigh 长度，虚束腰也包括在内。光焦度为零就等于没有透镜，但透镜位置仍是下游探测距离的参考点。

#### 连续的 Gouy 相位与明确的模式混合

$$
E_{mn}\propto H_m(\sqrt2x/w_b)H_n(\sqrt2y/w_b)e^{-r^2/w_b^2}e^{ikr^2/(2R)-i(m+n+1)\Psi_{00}}
$$

约定采用正向空间载波和负时间相位。去掉前向载波后，Gouy 相位滞后以原始束腰为起点。透镜轴上的相位是连续的，输出的反正切不能不加偏置就重新归零。在自由空间里，基模从束腰远前方走到远后方，一共滞后一个圆周率。这是相对平面波的相位，不代表光变慢，也不是群延迟。

#### 束质因子不唯一确定场

$$
p_{00}=2-M^2,\quad p_{10}=p_{01}=\frac{M^2-1}{2},\quad I=\sum_jp_j|u_j|^2,\quad1\leq M^2\leq2
$$

这是一种特定的旋转对称非相干混合，各模式共用一个模式参数。改变权重时，二阶矩束腰保持在控件设定值，所以模式基的束腰也跟着变。每个分量有各自的 Gouy 阶数，混合光却没有单一的电场相位。还有许多光束具有相同的束质因子；本模型既不识别它们，也不模拟任意光源。

### 常见难点

#### 一个束质因子能给出唯一 Gouy 相位吗？

**容易误解** 把高斯场里的波长乘上束质因子，得到的仍是物理上成立的相干场。

**正确理解** 不能。只看二阶矩传播，定不下相干性和模式相位。这里用一个明确归一化的模式混合来决定强度和耦合，每个分量仍用真实波长，保有各自的相位。

### 动手实验

1. 01

   #### 场景 1：追踪真实焦点

   从自由空间开始。改变输入束腰和波长，移动探测面，把采样得到的二阶矩半径和焦散曲线对比。原始束腰位于坐标原点。

   **你会看到：** 束腰处波前曲率为零，曲率半径无穷大，强度半径则取到有限的最小值。

2. 02

   #### 场景 2：移除透镜

   选透镜预设，移动透镜并调节光焦度。输出束腰一般不在透镜后一个焦距处。穿过实束腰时，曲率变号，束宽却始终有限。

   **你会看到：** 目标模式是单独给出的理想参考，不是从探测数据重建的。两个模式无损传播时，移动它们共同的观察面，全平面重叠不变。

3. 03

   #### 场景 3：非相干模式混合

   调高束质因子，基模的权重转给一对等权、非相干的一阶模式。观察光斑变化、两条 Gouy 分支，以及与同轴模式耦合的下降，然后冻结实际的模式场。

   **你会看到：** 三维场景中，只有连在出射光路上的小平面是探测面。焦散、相位曲线、模式条和冻结记录都放在单独的数据区。亮度和三维中不等的比例只是显示方式，不代表实测功率的变化。

物理结论

让同一个复数场穿过透镜，再测得到的光斑；束宽、曲率、Gouy 阶数和相干性要分开看。

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2. [实验 **Gaussian 光束与光束质量** 让非理想光束通过透镜，测量沿程束宽。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/gaussian-beam-quality/)

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