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title: "增益曲线与纵模互动实验｜Sandbox Physics"
description: "增益被腔模压到饱和后，哪些模式还能留下来？所有模式共用一份增益时，通常只剩阈值最低那个：它把增益压下去，别的模式就够不着阈值了。"
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last_modified: "2026-10-27"
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L09 · 模式与腔设计

# 增益曲线与纵模

**增益被腔模压到饱和后，哪些模式还能留下来？** 所有模式共用一份增益时，通常只剩阈值最低那个：它把增益压下去，别的模式就够不着阈值了。烧孔会打破这种共享。各个模式用上不同频率的原子，或者腔内不同位置上的增益，就能几个同时起振。在对手频率上加损耗，抬高它们的阈值，就只剩一个。

让腔模梳扫过增益谱线，看哪些模式活下来。比较共享的均匀增益、各自独立的频率原子组、驻波空间烧孔和频率选择损耗，再记录一次跳模。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

这是简化的 class-A 竞争模型，含 31 个纵模；反转粒子数绝热消去，模式强度保持非负。均匀增益为 Lorentz 谱线。非均匀增益把半宽 80 MHz 的 Lorentz 原子组按 Gaussian 分布平均。增益宽度控制在前一种情形下表示均匀半宽，在后一种情形下表示 Gaussian 标准差。频率重叠和全腔空间重叠都是精确值，代入的饱和关系只取到一阶；远离阈值时，这是教学近似。在均匀填充的腔中，驻波让自饱和强于交叉饱和。所有模式从等量的微小种子出发，这是经典初始条件。强度以饱和强度为单位，时间以光子寿命为单位，所以模型不预测瓦数、拍频相位、弛豫振荡或线宽。频率牵引读数是单独的线性估计，只针对阈值处的单条谱线；非均匀、驻波或加滤波时关闭，也不会移动竞争谱。

激光基础 · 光、增益与反馈

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物理依据： [MIT：相干与光谱](https://ocw.mit.edu/courses/res-6-006-video-demonstrations-in-lasers-and-optics-spring-2008/resources/coherence-length-and-source-spectrum/) · [速率方程](https://ocw.mit.edu/courses/6-977-ultrafast-optics-spring-2005/resources/chapter2/) · [泵浦与增益介质（7.2 节）](https://ocw.mit.edu/courses/6-974-fundamentals-of-photonics-quantum-electronics-spring-2006/bf3bdeb971819ddc9c68719d28bb2745_classnotes.pdf) · [激光动力学](https://ocw.mit.edu/courses/6-977-ultrafast-optics-spring-2005/resources/chapter4/)

物理教程

## 阈值候选模竞争有限增益

**背景** 谐振腔只允许一组分立的频率。哪些模式能从微弱的起点长起来，要看增益谱线和随频率变化的损耗；增益一饱和，结果又可能改变。

**为什么值得理解** 好几个模式一开始都过了阈值，稳态时却未必都还在。关键看它们是共用同一批原子，还是各用跃迁频率不同的原子组，或者各自消耗驻波的不同区域。

先抓重点

- **核心问题**: 为什么改变增益展宽或空间重叠后，同一组腔模会有不同结果？
- **一句话直觉**: 阈值看的是未饱和增益，能不能活下来，要看自饱和与交叉饱和。均匀展宽、空间均匀的增益偏向阈值最低的模式，除非两个阈值恰好相等；频率烧孔或空间烧孔能让几个模式共存。

### 核心数学模型

#### 冷腔模梳

$$
\begin{aligned}\mathrm{FSR}&=\frac{c}{2L}\\\nu_j-\nu_a&=(j+\delta)\mathrm{FSR}\end{aligned}
$$

光学腔长决定模间距。偏移让整个模梳相对原子谱线平移；调谐时，每个模式的相对序号保持不变。

#### 频率重叠

$$
\begin{aligned}H_{jk}&=\frac{1}{1+[(\nu_j-\nu_k)/\gamma_h]^2}\\h_j&=\frac{\sum_kw_kH_{jk}}{\mathcal N}\end{aligned}
$$

只有一组原子时，得到均匀展宽的 Lorentz 谱线；原子组按 Gaussian 分布时，得到 Voigt 谱线。归一化让谱线中心的未饱和增益等于泵浦设定值。

#### 全腔空间重叠

$$
\langle f_jf_l\rangle=\begin{cases}3/2&j=l\\1&j\ne l\end{cases}
$$

强度均值归一为一时，驻波和自己的重叠，比和另一个纵模驻波的重叠更大。这里假设增益均匀填满整个腔；短晶体要换一个重叠积分。

#### 简化的饱和与竞争

$$
\begin{aligned}C_{jl}&=\frac{\sum_kw_kH_{jk}H_{lk}}{\mathcal N}\langle f_jf_l\rangle\\G_j&=\frac{ph_j}{1+\sum_lC_{jl}I_l/h_j}\end{aligned}
$$

在所选的数值积分和几何下，重叠是精确值。饱和公式把局部饱和的一阶展开延拓成始终非负的形式，不是完整的空间 Maxwell–Bloch 求解。

#### 模式成长与频率相关损耗

$$
\begin{aligned}u&=t/\tau_p\\\frac{dI_j}{du}&=(G_j-\ell_j)I_j+\epsilon\\\ell_j&=1+f\left(\frac{\nu_j-\nu_f}{\mathrm{FSR}}\right)^2\end{aligned}
$$

损耗与增益谱形之比最小的模式，未饱和阈值最低。一个很小的经典底噪，让被压下去的模式在调谐后还能长回来。强度超过总强度百分之一的模式算作活跃。

#### 单独估计的频率牵引

$$
\begin{aligned}\nu_L&=\frac{\gamma_h\nu_c+\gamma_c\nu_a}{\gamma_h+\gamma_c}\\\gamma_c&=\frac{\kappa}{4\pi}\end{aligned}
$$

这是单条谱线在阈值处的线性估计，它把激光频率往原子共振方向拉。冷腔线宽由每次往返 0.08 的基础对数功率损耗确定。竞争谱仍停在冷腔频率上；假设不成立时，这个估计关闭。

### 常见难点

#### 候选不等于存活

**容易误解** 未饱和增益高于损耗的模式，都会出现在最终谱里。

**正确理解** 阈值是在增益饱和之前判断的。最终增益要把所有竞争模式的强度都算进去。

#### 多模不等于锁模

**容易误解** 多条存活谱线自动形成短脉冲。

**正确理解** 本模型不跟踪模式相位，所以预测不了拍频、相位锁定、脉冲形成和线宽，这些留给后续实验。

#### 均匀增益不等于空间均匀饱和

**容易误解** 均匀展宽驻波激光器一定只有一个模式。

**正确理解** 不同的驻波图样会消耗不同位置的增益。行波参考去掉了这种空间效应；即便如此，阈值恰好相等的模式仍可能分享输出。

### 动手实验

1. 01

   #### 先预测候选，再观察选择

   选择“均匀增益竞争”，记下阈值候选数。推进三次，再和活跃模式数、边模抑制比较。

   **你会看到：** 起初有好几个模式过了阈值，但阈值最低的那个耗尽了共享增益，把相邻模式压了下去。

2. 02

   #### 区分两种烧孔

   在相同泵浦和腔长下，比较“频率烧孔”和“驻波空间烧孔”，各推进三次。

   **你会看到：** 频率烧孔时，各模式用的是不同频率的原子组，彼此饱和得少。驻波烧孔时，每个模式和自己的重叠最大，给相邻纵模留下了增益。两种机制不一样。

3. 03

   #### 让一个模式获胜

   载入“滤波的非均匀增益”，再移动滤波中心。推进前后都看一看损耗和饱和增益。

   **你会看到：** 靠近滤波中心的模式损耗更小。竞争模式的阈值抬高以后，增益谱线再宽，输出也不一定宽。

4. 04

   #### 记录跳模

   载入“接近跳模”并推进，再用“向右调谐并演化”两次，看主模相对序号和冷腔频率偏移。

   **你会看到：** 模梳移过半个模间距时，胜出的纵模换了一个。调谐保留原有强度，所以新模式接管可能要花一些时间。

物理结论

频率选择损耗能抬高竞争模式的阈值。移动冷腔模梳，可以让另一个纵模胜出；频率牵引是另一回事，它让单个模式的频率稍稍偏移，起因也不同。

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

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