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title: "曲率与 Frenet 轨道设计器互动实验｜Sandbox Physics"
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last_modified: "2026-10-27"
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M008 · 运动基底

# 曲率与 Frenet 轨道设计器

**轨道弯得多急、走得多快，怎样共同决定法向加速度？** 法向加速度等于曲率乘以速率的平方。曲率只由路径形状决定，时序只决定经过得多快。同一个弯，速度加倍，法向加速度就变成四倍。

在空间里编辑一条三次曲线，看它的切向、法向和密切圆。再调整时长，让采样得到的法向加速度达到目标；最后从原始位置测点恢复运动。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

运动是事先给定的，位置观测是模拟的。这里不作力学或安全认证。

物理教程

## 几何、时序及采集证据

**背景** 这里的运动分三部分：路径的形状，沿路径走的快慢，以及观测到的位置记录。

**为什么值得理解** 把画在轨道上的矢量，和从测得位置中求出的导数对照起来。

先抓重点

- **核心问题**: 哪部分加速度让路径弯曲？
- **一句话直觉**: 改变时间安排，不会改变路径的曲率。

### 核心数学模型

#### 可编辑的三次路径

$$
\mathbf c(q)=\sum_{i=0}^3\binom3i(1-q)^{3-i}q^i\mathbf P_i
$$

端点在曲线上，内部的点引导切线方向。连接控制点的折线不是轨道的一部分。

#### 沿路径的时间安排

$$
\begin{aligned}u&=t/T\\q&=u+\frac{\epsilon_t}{2\pi}\sin(2\pi u)\\\mathbf v&=\mathbf c_q\dot q\\\mathbf a&=\mathbf c_{qq}\dot q^2+\mathbf c_q\ddot q\end{aligned}
$$

沿路径的进度只进不退；调制达到一时，运动会在某一瞬间停住。

#### 曲率只由路径决定

$$
\kappa=\frac{\lVert\mathbf c_q\times\mathbf c_{qq}\rVert}{\lVert\mathbf c_q\rVert^3},\qquad R=\kappa^{-1}
$$

公式要求曲线的导数不为零。曲率为零的地方，没有有限大小的密切圆。

#### Frenet 标架中的加速度

$$
\begin{aligned}\mathbf a&=a_t\mathbf T+a_n\mathbf N\\a_t&=\dot{\lVert\mathbf v\rVert}\\a_n&=\kappa\lVert\mathbf v\rVert^2\end{aligned}
$$

让轨迹弯曲的是法向分量。这是净加速度，不是座椅载荷，也不是支持力。

#### 不改路径，只改时长

$$
T_{\mathrm{new}}=T\sqrt{\frac{a_{n,\mathrm{peak}}}{a_{n,\mathrm{target}}}}
$$

峰值是采样得到的。把网格加密一倍可以作检查，但不能排除所有很窄的峰。

### 常见难点

#### 平滑曲线不等于真实加速度

**容易误解** 重建得很平滑、图线画得很密，就证明得到了真实加速度。

**正确理解** 采样可能漏掉转弯，局部拟合会带来偏差，采样中的最大值也不能保证是连续曲线的上界。

### 动手实验

1. 01

   #### 设计空间路径

   选择控制点，在各坐标视图拖动并调整高度。

   **你会看到：** 三维轨道、标架、曲率和加速度都由同一条路径决定。

2. 02

   #### 改变时间，保留形状

   将时长加倍，对比峰值，再使用重定时操作。

   **你会看到：** 速度和加速度随时长缩放的规律不同。采样峰值会直接和目标比较。

3. 03

   #### 看看特殊情况

   对比直线、拐点、尖点及中点暂停。

   **你会看到：** 方向没有定义的地方就不画，不会随便补一个标架。

4. 04

   #### 从采样测出运动

   采集、添加噪声、改变拟合窗口并导出原始位置。

   **你会看到：** 拟合窗口的大小要在噪声和偏差之间取舍；靠近端点时，单侧拟合还会带来额外误差。

物理结论

不同坐标下的分量，描述的是惯性系中同一个运动。标架奇异和观测稀疏，各有明确的局限。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)