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title: "自由落体与重力测量互动实验｜Sandbox Physics"
description: "相机有噪声、光电门计时粗糙，还能把重力加速度测准吗？精密度可以很高，但未必准确。把初始高度、初速度和重力加速度一起拟合，随机误差能压得很小；可是计时的最小刻度和空气阻力会让结果整体偏向一边，数据再多也消不掉。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M002 · 运动学 / 实验测量

# 自由落体与重力测量

**相机有噪声、光电门计时粗糙，还能把重力加速度测准吗？** 精密度可以很高，但未必准确。把初始高度、初速度和重力加速度一起拟合，随机误差能压得很小；可是计时的最小刻度和空气阻力会让结果整体偏向一边，数据再多也消不掉。

有刻度的落体塔、可移动的光电门和频闪相机，记录的是同一次下落。改变星球、释放高度和初速度，拟合带噪声的相机位置，再从残差里看出精密和准确的区别。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

当地重力均匀，测试物是 1 kg 的质点，地面水平。可选的线性空气阻力用来故意让匀加速拟合失效。相机噪声是独立的高斯位置噪声，时钟误差按量化处理。显示的不确定度是只考虑位置噪声时的一倍标准误，不包含所有误差来源。光电门测量 10 cm 遮光片的通过时间；三维视图里的高度按真实比例，二维图中的遮光片放大了，方便看清。这是模拟出来的仪器，不是真实测量。

物理教程

## 让一次落体成为一台仪器

**背景** 有了标定过的高度和时钟，一次下落就成了重力实验。落体塔把三样东西分开：物体真实的轨迹、相机拍到的位置，以及拟合这些位置的模型。光电门是另一台仪器，它记录一段有长度的遮光片通过的时间，不记录相机里的位置。

**为什么值得理解** OpenStax《University Physics》第一卷第 3.5 节的自由落体方程，在均匀重力和真空的假设下是精确的。真实测量却受采样、位置噪声和时钟分辨率的限制。这里能直接看到这些影响，还可以加上线性空气阻力，故意让模型和实际对不上。

先抓重点

- **核心问题**: 初始位置和初速度并不确切知道，你还能测出当地重力吗？
- **一句话直觉**: 初始高度、初速度和重力一起拟合。独立的位置噪声决定 $\widehat g$ 的标准误，但这个标准误只考虑了位置噪声；即使它很小，时钟的最小刻度和空气阻力仍可能让结果明显偏向一边。

### 核心数学模型

#### 真空参考解

$$
y(t)=h_0+v_{y,0}t-\frac12gt^2,\qquad v_y(t)=v_{y,0}-gt
$$

向上为正。最高点速度为零，重力加速度仍然向下。物体下落、第一次碰到地面时，模型就结束。

#### 三个参数一起拟合

$$
\min_{\beta_0,\beta_1,\beta_2}\sum_i\left[y_i-(\beta_0+\beta_1t_i+\beta_2t_i^2)\right]^2,\qquad\widehat g=-2\beta_2
$$

先把时间平移到中点并缩放，最小二乘求解就不容易出现数值病态。释放高度和初速度也当作未知数一起估计，并不固定在真值上。

#### 条件不确定度

$$
\operatorname{SE}(\widehat g)=2\sqrt{\widehat\sigma^2[(X^{\mathsf T}X)^{-1}]_{33}},\qquad\widehat\sigma^2=\frac{\sum_i r_i^2}{N-3}
$$

这是一倍标准误，前提是位置误差彼此独立、方差相同，观测时间精确。时钟量化、标定误差和错误的加速度模型都不在其中。观测少于四次时，无法估计残差方差。

#### 光电门平均速率与能量收支

$$
\overline v_{\mathrm{gate}}=\frac{\ell}{t_{\mathrm{exit}}-t_{\mathrm{entry}}},\qquad E(t)-E(0)-W_{\mathrm{air}}(t)=0
$$

遮光片长 10 cm，光电门测到的是遮光片通过期间的平均速率，不是某一点的速度。时钟量化可能把通过时间舍入成零，这时仪器显示无法分辨。打开空气阻力后，能量收支也计入空气做的功。

### 常见难点

#### 残差小不代表准确

**容易误解** 抛物线拟合平滑、标准误很小，所以重力读数一定正确。

**正确理解** 打开空气阻尼，拟合曲线看上去仍像抛物线，重力值却已经偏了。残差如果呈现有规律的形状，就是匀加速假设不成立的证据。

#### 多拍几帧修不好时钟

**容易误解** 增加帧率必然改善所有测量。

**正确理解** 时钟太粗，相邻几帧会拿到同一个时间戳，很短的遮光时间也可能直接变成零。显示的标准误仍然只考虑位置噪声。

#### 向上抛出也在自由落体

**容易误解** 到达最高点后重力才开始起作用。

**正确理解** 真空中的上升和下降受到同一个向下加速度；速度会反向，加速度不会。

### 动手实验

1. 01

   #### 在地球标定

   选地球落体塔，把位置噪声与时钟分辨率都设为零，采集一次落体。移动光电门，再在过门时刻比较光电门速度与竖直速度读数。

   **你会看到：** 拟合出的重力接近设定值，光电门给出遮光片通过期间的平均速率。真空中，能量收支误差只有舍入误差那么大。

2. 02

   #### 更换星球与初态

   比较月球与地球落体塔，再选向上抛出，拖动时间滑块经过最高点。

   **你会看到：** 重力小，实验就更长。三参数拟合能把向上的初速度拟合出来，不会把它误当成重力变了。

3. 03

   #### 看清噪声和时钟的极限

   选不理想相机，多次采集；分别改变帧率和时钟分辨率。

   **你会看到：** 每次采集的噪声不同，拟合值也跟着变。位置散布、时间量化和光电门无法分辨，是三种不同的误差来源。

4. 04

   #### 破坏拟合假设

   加入线性空气阻尼，观察重力偏差和残差形状，再恢复真空。

   **你会看到：** 有阻力时，匀加速拟合得到的只是一个有效加速度。这个偏差来自物理模型不对，光降低相机噪声消除不了。

物理结论

测量由物理装置、采样过程和推断模型共同构成。在相信一个数字前，先把这三层看清楚。

入门路径 · 第 1 / 6 步

## 从一次下落到一条轨道

[下一步 → **抛体飞行设计器** 先在真空中发射，再打开空气阻力，与真空参考比较射程和最高点。 比较 · 16 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)