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title: "FPUT 能量复现实验室互动实验｜Sandbox Physics"
description: "一串质量和弹簧连成的链里，能量散到多个振动模态后，还会回来吗？会。FPUT 链的弹簧是非线性的，放进一个模态的能量先扩散到其他模态，过一阵又大部分回到原来的模态；线性链里，能量根本不会离开最初的模态。在有限时间里看到能量回来，或看到它分散得很开，都不能证明最后会均分。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/fput-recurrence/"
last_modified: "2026-10-22"
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M089 · 离散力学

# FPUT 能量复现实验室

**一串质量和弹簧连成的链里，能量散到多个振动模态后，还会回来吗？** 会。FPUT 链的弹簧是非线性的，放进一个模态的能量先扩散到其他模态，过一阵又大部分回到原来的模态；线性链里，能量根本不会离开最初的模态。在有限时间里看到能量回来，或看到它分散得很开，都不能证明最后会均分。

一条两端固定的非线性弹簧链，从单个正弦模态开始振动。比较线性、二次力和三次力三种链，跟踪每个谐波模态的能量、非线性能量余项和模态熵，并找出能量离开初始模态后第一次采样到的回归。三维视图里，链沿纵向运动，可以查看每个节点两侧的键力；完整机械能和墙面冲量与谐波模态份额分开计算。在数据行拖动释放位移图，可以改变振幅。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

三维装置只是示意：纵向位移按每条记录固定的比例尺画出，与平衡间距分开；质点大小和弹簧线圈不参与碰撞计算。颜色表示当前局部能量相对当前峰值的大小。模型是归一化、孤立、两端固定的理想质点链，只有相邻质点之间有多项式弹簧，没有碰撞，也没有阻尼。时间单位取参考质量和刚度都为一。谐波模态能量不含非线性键能，份额按谐波能量之和归一，这个和并不等于守恒的完整能量。所谓回归，是采样到的初始模态份额先降到五分之四以下，之后又回到至少十分之九；线性链始终没有离开，不算复现。所有释放模态都用第一个线性基频周期作时间尺度。熵描述的是有限的谐波分布，不能证明热化。采样可能让阈值回归的时刻偏移，甚至完全漏掉。只有二次力的键是局部多项式模型，键进入势能不再束缚它的区域之前，记录就会停止。步长受一个保守的最快振动频率上限限制，每条记录最多五十万步，两者都可能让极端记录提前结束。步长减半比较只覆盖最初十个时间单位。

物理教程

## 能量离开、扩散，再回归

**背景** 人们原以为非线性链会很快把能量平分给各个模态。Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou 实验却发现，很大一部分谐波能量可以回到最初激发的模态。

**为什么值得理解** 1955 年的 Los Alamos 报告研究孤立的链，键力是位移的多项式。这里按固定规则做有限时长的实验，也把非线性部分的能量算进来。

先抓重点

- **核心问题**: 要求能量先离开、再和线性链对照、再把积分步长减小，看到的回归还成立吗？
- **一句话直觉**: 完整 Hamilton 能量和各谐波模态的能量要分开追踪。能量先离开初始模态，之后再越过阈值，才算回归。

### 核心数学模型

#### 多项式键势能

$$
V(r)=\tfrac12r^2+\tfrac\alpha3r^3+\tfrac\beta4r^4,\qquad r_i=u_i-u_{i-1}
$$

二次与三次力项来自同一个 Hamilton 能量。

#### 固定端链动力学

$$
\ddot u_i=V^{\prime}(u_{i+1}-u_i)-V^{\prime}(u_i-u_{i-1}),\qquad u_0=u_{N+1}=0
$$

没有外力驱动，没有阻尼，质点之间也不碰撞。

#### 线性谐波投影

$$
Q_j=\sqrt{\frac2{N+1}}\sum_{i=1}^N u_i\sin\frac{ij\pi}{N+1},\qquad E_j=\tfrac12(\dot Q_j^2+\omega_j^2Q_j^2)
$$

即使键是非线性的，谐波模态仍可以用来看能量分布在哪里。

#### 完整能量与非线性余项

$$
H=\sum_jE_j+\sum_i\left(\tfrac\alpha3r_i^3+\tfrac\beta4r_i^4\right)
$$

只有包含余项的完整 Hamilton 能量，才是守恒的机械能。

#### 归一谐波模态熵

$$
p_j=E_j/\sum_kE_k,\qquad S=-\frac{\sum_jp_j\log p_j}{\log N}
$$

能量集中在少数谐波模态时，熵就低。这个分布不含非线性余项。

### 常见难点

#### 一直没走，不算回来

**容易误解** 线性模态回到相同位移，也就证明了非线性复现。

**正确理解** 线性链的模态从来没有失去能量。这里要算回归，初始模态的份额得先跌到五分之四以下。

#### 谐波能量不等于 Hamilton 总能量

**容易误解** 投影模态能量之和必须严格恒定。

**正确理解** 非线性键能可正可负，会和谐波部分来回交换能量。

#### 熵不证明热化

**容易误解** 能量一旦分散到很多模态，就会永远均分下去。

**正确理解** 在有限的记录里，能量仍可能回来。单看熵，证明不了长时间后会达到平衡。

### 动手实验

1. 01

   #### 在三维装置里看一个节点的受力

   暂停，选择检查节点并使用精细运动单步。对照青色与金色的两侧键力、紫色合力和加速度读数。

   **你会看到：** 质点只沿链的方向运动。下方的位移轮廓是一张图；质点大小和绘图放大倍数都只是示意。

2. 02

   #### 检查能量和墙面冲量

   打开“能量与墙面冲量”，滑动已采集记录，再返回“运动与模态”。

   **你会看到：** 完整能量的各项和带符号的数值误差跟着同一个光标走。固定墙和链交换动量，但不做功。

3. 03

   #### 先跑线性对照

   采集线性场景并检查模态历史。

   **你会看到：** 能量一直留在这一个模态里，从未离开。

4. 04

   #### 采集一次非线性回归

   使用默认二次力场景并采集完整记录。

   **你会看到：** 能量散到其他模态，初始模态的份额下降；之后，采样到的份额又回升，越过回归阈值。

5. 05

   #### 改变混合强度

   比较三次力与较强释放，再检查熵。

   **你会看到：** 不同的运行不一定在同一段观测时间里回归。

6. 06

   #### 检查数值计算

   减小步长，比较完整能量误差和早期步长减半读数。

   **你会看到：** 早期的步长收敛和整段记录的能量误差，是两种不同的证据。

物理结论

有限时间里的回归和较高的模态熵，都不能证明能量最终会均分。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)