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title: "四连杆机构互动实验｜Sandbox Physics"
description: "一根曲柄，画出一族轨迹。 这组杆件能转完一整圈吗？"
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last_modified: "2026-10-19"
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机构设计 · 闭环约束

# 四连杆机构

转动三维四连杆，改变杆长、翻转装配分支，移动连杆上的描点。找出哪些设计能连续转动，哪些会抵达几何极限。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

平面刚杆与理想转动副。精确位置几何、解析速度和加速度，以及准静态有符号载荷传递。输入转速指定；不含惯性、摩擦、碰撞或结构强度模型。

物理教程

## 闭环几何塑造运动

**背景** 在计算力之前，刚性连杆已经施加了几何约束。

**为什么值得理解** 观察同一组求解关节位置怎样同步驱动三维装置、描点和定量视图。

先抓重点

- **核心问题**: 什么杆长组合能让所选输入杆转完一圈？
- **一句话直觉**: 装配点是两个圆的交点。圆分离时刚性装配不存在；圆相切时速度约束奇异。

### 核心数学模型

#### 矢量闭环

$$
a\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}\cos\beta\\\sin\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d\\0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}\cos\phi\\\sin\phi\end{bmatrix}
$$

两个固定支点位于水平轴上；两个有向圆交点定义装配分支。

#### 输入整周旋转

$$
d+a<b+c,\qquad |d-a|>|b-c|
$$

这两个严格不等式保证所选输入在整周内不触及圆相切。等号对应变位或极限位形，需单独处理。

#### 有符号虚功率

$$
\tau_{\rm in}=-\tau_o\phi'(\theta),\qquad\tau_{\rm in}\dot\theta+\tau_o\dot\phi=0
$$

输出力矩为施加的外力矩，逆时针为正。该式要求闭合正常且杆件惯性可忽略。

### 常见难点

#### 零不等于未定义

**容易误解** 输出静止就表示求解奇异。

**正确理解** 普通输出换向处，速度为零但求解仍可正常；闭合奇异处，微分约束不能唯一确定运动。

#### 指定运动

**容易误解** 动画证明这台电机能够驱动真实机构。

**正确理解** 输入转速为指定量，不含杆件惯性、摩擦、柔性与碰撞动力学；功率平衡采用准静态近似。

### 动手实验

1. 01

   #### 转动

   播放，再暂停并拖动平面图中的金色曲柄销。

   **应该观察到：** 三维杆件与全部曲线使用同一个输入角。

2. 02

   #### 改变杆长

   比较两个装配分支，再选择存在几何限位。

   **应该观察到：** 仅绘制可行位置，无法装配时提示原因，不拉伸杆长。

3. 03

   #### 检查极限位形

   选择抵达共线极限并查看未定义导数，再导出扫描。

   **应该观察到：** 缺失值、奇异值与有效零值明确区分。

物理结论

几何决定运动及其边界，准静态功率传递并不证明动态性能。

理论与装置：[Carnegie Mellon · Planar Linkages](https://www.cs.cmu.edu/~rapidproto/mechanisms/chpt5.html) · [Universidad de Almería · Four-bar mechanisms](https://ingmec.ual.es/tmm/L01_03a_four_bars.html)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)