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title: "傅科摆与地球自转互动实验｜Sandbox Physics"
description: "傅科摆的摆长能改变摆动周期，为什么改变不了摆面转动的快慢？两件事各管各的。摆长决定每次摆动有多快。摆动平面会转，是因为地球在下面转，起作用的只是地球自转在当地竖直方向上的那一份，它取决于纬度：在两极，摆面一天转一圈；在赤道，摆面不转。摆长怎么变，这个转速都不变。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M059 · 地球自转 / 两个时间尺度

# 傅科摆与地球自转

**傅科摆的摆长能改变摆动周期，为什么改变不了摆面转动的快慢？** 两件事各管各的。摆长决定每次摆动有多快。摆动平面会转，是因为地球在下面转，起作用的只是地球自转在当地竖直方向上的那一份，它取决于纬度：在两极，摆面一天转一圈；在赤道，摆面不转。摆长怎么变，这个转速都不变。

转动视角，从各个方向看支架、悬线和摆锤，也可以放大位移。把摆从赤道移到两极，既看一次次摆动，也看几个小时的进动。对照两种局部坐标视图，用每摆一次采一次样的同相探针测出进动速率，再看阻尼耗掉了多少能量。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型是小振幅摆，在各个水平方向上性质相同；有效重力恒定，阻尼是相对地面的线性阻尼。三维装置默认把水平位移放大八倍，关掉放大就是真实比例。悬线高度按几何关系画出，不带来竖直方向的运动。科里奥利项只用地球自转的竖直分量；随位置变化的高阶离心修正、竖直耦合、有限振幅 Airy 进动、各向异性和驱动都没有考虑。解析解对这个线性模型是精确的，但它不是完整的球面摆。恒星日取一个舍入后的固定值。第二种坐标视图只是在局部扣掉了进动，并不是全局惯性系。

物理教程

## 从数秒摆动中读出一天自转

**背景** 摆锤几秒摆一次，摆动平面的转动却以小时计。在摆锤活动的这一小片水平范围里，模型保留的科里奥利耦合来自地球自转的竖直分量。当地恒定的离心效应已经算进有效重力。

**为什么值得理解** 一只长摆就能在一个地方测出地球自转。它还告诉我们怎样从快速振荡里分离出缓慢的相位，以及为什么阻尼和近圆形的初始运动会让摆轴看不清。

先抓重点

- **核心问题**: 改变摆长，进动速率会变吗？怎样从摆锤的实际位置测出进动速率？
- **一句话直觉**: 摆长决定摆一次要多久，纬度决定摆动平面转多快、往哪边转。每摆完一整次记一下摆锤位置，就能看出慢转动，不必把相隔很远的快速运动采样点连起来。

### 核心数学模型

#### 两个时间尺度

$$
\omega_0^2=g_{\rm eff}/L,\qquad\nu=\Omega_\oplus\sin\varphi,\qquad\Omega_\oplus=\frac{2\pi}{23.9345\times3600\,\mathrm s}
$$

这里用一个固定的恒星日作教学常数，它和太阳日不同。纬度为正时，从上往下看，摆动平面顺时针转。

#### 模型中的水平运动方程

$$
\ddot x+2\gamma\dot x+\omega_0^2x-2\nu\dot y=0,\qquad\ddot y+2\gamma\dot y+\omega_0^2y+2\nu\dot x=0
$$

向东为横轴正方向，向北为图中纵轴正方向。阻尼作用在相对地面的速度上。线性方程解得再精确，也补不回被省略的球面效应和有限振幅效应。

#### 精确阻尼模态解

$$
z=c_+e^{\lambda_+t}+c_-e^{\lambda_-t},\qquad\lambda_\pm=-(\gamma+i\nu)\pm\sqrt{(\gamma+i\nu)^2-\omega_0^2}
$$

复振幅由完整的初始位置和初速度决定。每个衰减模态单独计算，长时间的阻尼记录才不会数值溢出。

#### 摆动平面的转动与整周周期

$$
\Delta\psi=-\nu t,\qquad T_{\rm full}=\frac{23.9345\,\mathrm h}{|\sin\varphi|},\qquad\varphi\ne0
$$

图上的转角会一直累计整圈。摆轴不分正反两头，只要这个周期的一半，摆轴就回到原来的方向。在这个模型里，赤道上没有傅科进动。

#### 机械能与耗散

$$
e=\tfrac12(|\dot z|^2+\omega_0^2|z|^2),\qquad q=2\gamma\int_0^t|\dot z|^2\,dt,\qquad e+q=e_0
$$

这些量是线性水平模型的单位质量能量。科里奥利加速度不做功，线性阻尼把机械能转为耗散能。

#### 每摆一整次采一次样

$$
T_{\rm fast}=\frac{2\pi}{\operatorname{Im}\sqrt{(\gamma+i\nu)^2-\omega_0^2}},\qquad t_n=nT_{\rm fast}
$$

每过一个完整的快速周期，读一次摆锤实际的位置角，再把角度连续展开，这一步不用进动公式。没有阻尼时，测出的速率和公式一致；有阻尼时，模态之间可能出现很小的相位偏差。探针只读位置角，不拟合椭圆主轴。

### 常见难点

#### 长摆进动更快

**容易误解** 在同一个地方，摆越长，进动速率就应该越不一样。

**正确理解** 摆长只改变摆动周期。模型里的进动速率由纬度和地球自转决定，和摆长无关。

#### 第二视图是全局惯性系

**容易误解** 把看得见的进动去掉，就等于站在地心惯性系里观察。

**正确理解** 第二视图只是把当地的水平坐标轴转了一下。除了两极，当地的竖直方向本身也会随地球运动改变朝向。

#### 任何运动点都定义摆动平面

**容易误解** 摆锤当前方位就是进动角，近圆轨道也一样。

**正确理解** 快速摆动和摆动平面的慢转动是两回事。摆锤走近似圆形时，长轴很难稳定地认出来，Lab 会标出这种情况。

#### 数值精确消除了物理近似

**容易误解** 精确解证明真实摆可以连续数日严格沿此曲线运动。

**正确理解** 这个解只对各向同性的线性模型精确。观察时间一长，模型省略的有限振幅 Airy 进动、各向异性、驱动和高阶地球项都可能累积起来。

### 动手实验

1. 01

   #### 分辨一次摆动

   选择短摆，每次前进八分之一次摆动，观察地面视图和局部参考视图。

   **你会看到：** 轨迹只画最近两次摆动，采样足够密。Lab 不会用稀疏的采样点画一整天的摆锤路径。

2. 02

   #### 比较南北半球

   依次查看赤道、两个半球和北极，比较位置探针测得的速率与载波速率。

   **你会看到：** 赤道上摆动平面不转；越过赤道，转向相反；在极点，每个恒星日正好转一整圈。

3. 03

   #### 纬度不变，只改摆长

   调整摆长，再拖动橙色释放环改变方向与振幅。

   **你会看到：** 摆动周期和位移变了，这个纬度上的进动速率不变。

4. 04

   #### 摆轴变得看不清

   比较椭圆初态、近圆初态与阻尼一日记录。

   **你会看到：** 近圆初态的长轴不清楚。阻尼让以米计的真实摆幅逐渐变小，但模型里机械能与耗散能之和保持不变。

物理结论

先看清快速摆动，再测缓慢转动，同时记住模型省略了什么。看到摆动平面在转，是这个模型里的证据；真实的摆还有许多修正，这里并没有一一建模。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)