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title: "平直环面宇宙与匹配圆互动实验｜Sandbox Physics"
description: "一个平直的宇宙，仍然可能是有限的吗？可以。平直说的是局部的几何，平直空间也能像电子游戏画面那样首尾相接、大小有限。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/flat-torus-matched-circles/"
last_modified: "2026-11-14"
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# 平直环面宇宙与匹配圆

**一个平直的宇宙，仍然可能是有限的吗？** 可以。平直说的是局部的几何，平直空间也能像电子游戏画面那样首尾相接、大小有限。假如这样的盒子比可观测宇宙小，微波背景天空就会沿成对的圆重复同一套图样。Planck 没有找到这种圆，所以盒子即使存在，也至少和可观测宇宙差不多大。

拖动平直周期盒的大小，看同一片天空斑点怎样成对重现为匹配圆，再和偶然的相似对照。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

这片合成的教学天空只用一种空间：平直的立方三维环面，盒子边长为 L，单位是到最后散射面的共动距离。带 Gaussian 平滑谱的随机场在每边64格的网格上严格周期，再在一层很薄的最后散射球面上读出。可选的白噪声在每个一度天区独立。模型不含曲率和其他紧致空间，不含积分 Sachs-Wolfe 项、多普勒项和最后散射层的厚度，也没有遮罩、前景和波束，更没有使用 Planck 或 WMAP 天图。偶然水平是这一片天空里无关轴上出现的最大匹配度，不是经过校准的误报概率。这个盒子只是教学例子，不是测得的宇宙真实形状。

## 沿着圆读同一片天空

合成天空，不是 Planck 天图

### 全天图与预言的圆

### 沿每个圆的温度

### 圆对搜索与偶然水平

圆和匹配度怎样计算

$$
\cos\alpha=\frac{|\mathbf g|}{2\chi_{\mathrm{rec}}},\qquad S(\phi_*)=\frac{2\langle T_A(\psi)\,T_B(\psi+\phi_*)\rangle}{\langle T_A^2+T_B^2\rangle}
$$

每个短于两倍最后散射距离的格点平移给出一对圆。搜索在96条均匀分布的轴和短格点轴上比较背对背的圆，并尝试所有旋转角。灰色偶然水平只用离所有副本轴八度以上的盲选轴。

[Cornish、Spergel 与 Starkman（1998），天空中的圆](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9801212v1) · [Planck 2015 结果 XVIII：背景几何与拓扑](https://arxiv.org/abs/1502.01593v2)

[继续学习：空间的整体形状](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/)

## 平直环面宇宙与匹配圆

**背景** 测量表明空间非常接近平直。平直描述的是每一点附近的几何，并不决定空间是无限延伸，还是在远处接回自己。

**为什么值得理解** 在平直的三维环面里，从盒子的一面走出去，会从对面走回来。只要盒子比微波背景发出的那层球面更小，有些光就会从两个方向到达我们，天空也就会重复。

- **一句话直觉**: 只要观察者的某个副本离我们不到最后散射距离的两倍，天空上就会出现一对温度完全相同的圆。盒子比这更大时，圆对消失，单凭天空分不出它与无限平直空间。

### 核心数学模型

#### 观察者的副本

$$
\mathbf x\sim\mathbf x+L\mathbf n,\qquad \mathbf n\in\mathbb Z^3,\qquad \mathbf g=L\mathbf n
$$

相差整数个盒子边长的点是同一个点。在覆盖空间里，每个格点上都有观察者的一个副本。距离一律以到最后散射面的共动距离为单位。

#### 两个球面在哪里相交

$$
\cos\alpha=\frac{|\mathbf g|}{2\chi_{\mathrm{rec}}},\qquad |\mathbf g|<2\chi_{\mathrm{rec}}
$$

我们的最后散射球面和邻近副本的球面交于一个圆。我们会看到它两次：一次围绕那个副本的方向，一次围绕相反方向，两次的角半径相同。

#### 比较两个圆

$$
S(\phi_*)=\frac{2\langle T_A(\psi)\,T_B(\psi+\phi_*)\rangle}{\langle T_A^2+T_B^2\rangle}
$$

两个圆完全相同时这个统计量等于一，毫不相关时在零附近起伏。在许多旋转角和轴里取最大值，也会让它偶然变高，所以真正的匹配必须超过同一片天空里的偶然水平。

### 常见难点

#### 平直不等于无限

**容易误解** 空间是平直的，就一定无限延伸。

**正确理解** 曲率是在局部测量的。平直三维环面处处曲率为零，体积却有限。局部测量分不出两者，只有绕空间走过一圈的光才能分辨。

### 动手实验

1. 01

   #### 找到重复的斑点

   保持默认盒子，看两条光子路径。先不看数据区，预测边长1.2的盒子会产生多少对圆。

   **你会看到：** 同一个斑点的光从两个方向到达你。最近的六个副本给出三对53.1度的圆，十二个对角副本给出六对31.9度的圆。

2. 02

   #### 把盒子拉过极限

   把盒子角点向外拖。先预测最后一对圆在边长多大时消失，再到扫描图里检验。

   **你会看到：** 边长达到两倍最后散射距离时，圆缩成一点并消失。此后，找到的最佳匹配在所有半径上都和偶然水平重合。

3. 03

   #### 加入噪声

   选择“噪声淹没匹配”。比较盒轴圆对的匹配度与偶然水平，再保存记录。

   **你会看到：** 噪声与信号一样强时，匹配度大约降到一半。圆对在物理上仍然存在，但在这片天空里已经不再高出偶然水平。

物理结论

找不到匹配圆，只能给出空间尺寸的下限，不能证明空间无限。

## 相关实验与文章

空间的整体形状 · 阅读路径

### 从平直的盒子到匹配圆与 Planck 限制

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **平直的宇宙会是有限的吗**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/can-a-flat-universe-be-finite/)
2. [文章 **三维环面怎样让平直空间变得有限**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/flat-but-finite-three-torus/)
3. [文章 **宇宙太小，天空为什么会出现成对的圆**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/why-a-small-universe-draws-circles/)
4. [文章 **怎样分辨真正的匹配圆与碰巧的相似**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/telling-a-real-circle-match-from-a-lucky-one/)
5. [文章 **在玩具三维环面里复算匹配圆**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/recompute-matched-circles-in-a-toy-torus/)
6. [文章 **怎样读 Planck 的宇宙拓扑限制**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/reading-planck-topology-limits/)

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)