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title: "有限尺寸标度互动实验｜Sandbox Physics"
description: "几条曲线叠得漂亮，临界点就找对了吗？小系统的曲线变化缓慢，临界点偏一点也可能叠得很好。"
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last_modified: "2026-10-27"
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F003 · 多大才算足够大？

# 有限尺寸标度

**几条曲线叠得漂亮，临界点就找对了吗？** 小系统的曲线变化缓慢，临界点偏一点也可能叠得很好。尺寸变大后，同样的偏差会被放大。先把大尺寸数据留出来，再检验预测，才容易发现这种误判。

比较五种长度的高斯场。先拿小格点调出一张漂亮的图，再揭开大格点的数据，看原来的预测还能不能成立。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

这个高斯欧氏场两端固定为零，画面回放抽样构型。

45 条抽样链 · 五种尺寸

## 预测要经得起新尺寸的检验。

用于比较的小尺寸 预先留出的大尺寸 虚线：连续极限参考

### 重标度之前

$\chi_L=\frac{a^2}{L}\sum_{i,j}\langle\phi_i\phi_j\rangle$

### 重标度之后

$x=(r-r_c)L^{1/\nu},\qquad y=\chi_L/L^2$

正在比较记录的样本。

调整待检验的标度关系

猜测的临界点 $r_c$ $0$ 关联长度指数 $\nu$ $0.5$

小尺寸的数据插值成比较曲线，大尺寸始终不参与。偏差以双方合成标准误差为单位，再取均方根。插值会让偏差彼此相关，这个数用于诊断，不能当作显著性检验。

抽样误差与原始记录

每条链保存了 16,384 次完整场的投影，相邻样本彼此相关。误差棒由每批 128 次的批均值计算，测试还会把批长加倍比较。抽样从高斯平稳分布开始。

有效样本数取自所选尺寸下质量最接近的保存记录。动画是同一模型另行抽取的即时样本。

该读数采用的保存质量：$rL^2=4$

$q=\frac{a}{\sqrt L}\sum_i\phi_i,\qquad\widehat\chi_L=\overline{q^2}$

[15 格点 · 原始 JSON](https://sandboxphysics.com/data/field-theory/scaling/size-15.json) [23 格点 · 原始 JSON](https://sandboxphysics.com/data/field-theory/scaling/size-23.json) [31 格点 · 原始 JSON](https://sandboxphysics.com/data/field-theory/scaling/size-31.json) [63 格点 · 原始 JSON](https://sandboxphysics.com/data/field-theory/scaling/size-63.json) [127 格点 · 原始 JSON](https://sandboxphysics.com/data/field-theory/scaling/size-127.json)

模型与科学来源

场的两端固定为零，欧氏作用量只保留二次项。画面切换的是抽样结果，播放速度不代表物理时间。这个高斯模型的关联长度指数为二分之一；有相互作用的系统可以取不同的指数。

这是一维自由欧氏标量场，两端采用零值 Dirichlet 边界。格距为一个参考长度单位，作用量无量纲。正质量下关联长度有限；这里从非负质量平方一侧逼近高斯临界极限，未估计相互作用理论的临界指数。

$S=\frac12\sum_{j=0}^{N}\frac{(\phi_{j+1}-\phi_j)^2}{a}+\frac{ar}{2}\sum_{j=1}^{N}\phi_j^2,\quad L=(N+1)a$

虚线来自连续场边值问题的解析解，与记录的格点数据分开。格距有限会带来格距与区间长度之比的二次修正。

$\frac{\chi_L}{L^2}\longrightarrow\frac{1-2\tanh(\sqrt{x}/2)/\sqrt{x}}{x},\qquad x=rL^2$

[David Tong · Statistical Field Theory, sections 2.2–2.3](https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/sft/sfthtml/S2.html)

物理教程

## 拿一组新尺寸检验标度关系

**背景** 有限区间的两端会截断关联。质量变小时，越来越远的场也一起响应，直到整个区间都参与进来。

**为什么值得理解** 把横纵坐标按尺寸重标度，几组曲线可能落到同一条线上。临界点猜错一点，大区间会把这个错误放大。

先抓重点

- **核心问题**: 临界点猜错了，小尺寸数据为什么仍然叠得很好？
- **一句话直觉**: 临界点的偏差要乘上区间长度的平方，尺寸越大，检验越敏感。

### 核心数学模型

#### 从涨落求均匀源的响应

$$
q=\frac{a}{\sqrt L}\sum_i\phi_i,\qquad \chi_L=\langle q^2\rangle
$$

二次作用量下，场的均值为零。这个投影的平方平均值，等于弱均匀源引起的响应率。

#### 高斯场的有限尺寸标度

$$
\chi_L/L^2\longrightarrow F(rL^2),\qquad F(x)=\frac{1-2\tanh(\sqrt{x}/2)/\sqrt{x}}{x}
$$

保持 $x=rL^2$ 不变，让格距相对区间长度越来越小，就得到这条连续极限曲线。零质量处 $F(0)=1/12$。

### 常见难点

#### 叠得漂亮只是检验的一部分

**容易误解** 三组小尺寸曲线贴在一起，临界点就一定找对了。

**正确理解** 预设里那个错误临界点只让小尺寸横移了一点。两组大尺寸的横移明显得多，曲线便分开了。

#### 相邻样本会分享信息

**容易误解** 保存一万六千次抽样，就有一万六千次独立测量。

**正确理解** 新场保留了前一个场的一部分。误差计算把样本分成长于这种记忆的批次，有效样本数会少得多。

### 动手实验

1. 01

   #### 先看重标度的作用

   选择“五种尺寸，一条曲线”，比较重标度前后的图。

   **你会看到：** 原始响应随尺寸明显增大；重标度后，五种尺寸都靠近连续极限参考。

2. 02

   #### 试一次诱人的误判

   选择“看似不错的错误拟合”，先预测大尺寸会落在哪里。

   **你会看到：** 临界点已经偏移，小尺寸偏差仍接近一。

3. 03

   #### 揭开没参与拟合的尺寸

   选择“让大格点来检验”，把橙色曲线与你的预测比较。

   **你会看到：** 留出尺寸的偏差上升得远比小尺寸明显。更长的区间暴露了错误临界点。

物理结论

先决定用哪些尺寸拟合，再用预先留出的尺寸检验。

## 相关实验与文章

场、尺度与临界现象 · 阅读路径

### 从场模走到临界现象

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **怎样检验一张漂亮的数据塌缩图**](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/finite-size-scaling/)
2. [文章 **读懂 Wilson–Fisher 流图**](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/wilson-fisher-and-universality/)
3. [实验 **粗粒化与重整化参数流**](https://sandboxphysics.com/zh/labs/renormalization-flow/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)